§93 Диференціальна форма електростатичної теореми Гаусса. Значення теореми Гаусса в теорії електрики [9]

1. Співвідношення

                        (93.1)

виражає теорему Гаусса в інтегральній формі. Сформулюємо тепер цю теорему в диференціальній формі.

Як відомо, об'ємна густина електричного заряду  визначається як відношення заряду  до фізично малого об'єму , у якому знаходиться цей заряд:

            .           (93.2)

Формулюючи визначення густини електричного заряду  у формі (93.2), ми маємо на увазі, що електричний заряд у просторі розподілений неперервно. Уявлення про неперервний розподіл електричного заряду у просторі є такою ж ідеалізацією, як і уявлення про неперервний розподіл речовини. Такими уявленнями широко користуються в макроскопічній фізиці.

Знаючи об’ємну густину заряду  в кожній точці простору, можна знайти сумарний заряд, який знаходиться всередині замкненої поверхні . Для цього потрібно обчислити інтеграл від  по об'єму , який обмежений цією поверхнею:

            .

Використовуючи цю формулу, співвідношенню (93.1) можна надати вигляд

            .           (93.3)

У математиці відома теорема Остроградського-Гаусса, згідно якої для векторного поля  виконується рівність

            .           (93.4)

Тут проводиться інтегрування по об’єму , який обмежений поверхнею ; через  позначено дивергенцію вектора , яка в декартових координатах має вигляд

            .

Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса (93.4), для потоку напруженості електричного поля можемо записати

            .           (93.5)

Порівнюючи (93.3) та (93.5), можемо записати

            .           (93.6)

Рівність (93.6) може виконуватися для довільного об’єму тільки тоді, коли відповідні підінтегральні вирази (93.6) будуть рівними між собою. Звідси отримуємо

            .           (93.7)

Співвідношення (93.7) виражає теорему Гаусса в диференціальній формі: дивергенція вектора  в деякій точці електростатичного поля дорівнює об'ємній густині заряду в тій же точці, яка поділена на .

2. В електростатиці теорема Гаусса є не більше як одним з наслідків закону Кулона. Але ми не можемо обмежитися електростатикою. Наше завдання значно ширше. Ми повинні шляхом узагальнення дослідних фактів відшукати загальні рівняння й закони, які можна застосувати не тільки в електростатиці, але й у всій електродинаміці. Як керівний принцип при відшуканні таких законів можна виставити вимогу, щоб вони були законами теорії поля, які виключають миттєву дію на відстані. Закон Кулона цій вимозі не задовольняє. Він може бути справедливий тільки в електростатиці. Однак наслідки, що отримані з нього, можуть мати й більш широку область застосування. До числа таких наслідків і відноситься теорема Гаусса. Вона не суперечить теорії поля з її уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій. Записана в диференціальній формі, теорема Гаусса не містить ніяких натяків на дальнодіючий характер сил. Вона є локальною теоремою, тобто зв'язує різні фізичні величини ( і ) в одній і тій же точці простору. Закони теорії поля не обов'язково повинні бути локальними. Однак всі локальні закони сумісні з основним уявленням цієї теорії про передачу взаємодій за допомогою полів. З іншого боку, закон Кулона є тільки достатнім, але не є необхідним для доведення теореми Гаусса. Тому природно ввести гіпотезу, що теорема Гаусса є вірною не тільки в електростатиці, але й в електродинаміці, яка має справу зі змінними у часі електромагнітними полями. Вірна ця гіпотеза, чи ні – на це питання може дати відповідь тільки дослід. Вся сукупність дослідних фактів говорить на користь цієї гіпотези. Тому ця гіпотеза і була прийнята у фізиці. Тим самим рівняння теореми Гаусса (93.7) і математично еквівалентне йому рівняння (93.1) перестають бути скромними наслідками закону Кулона, а вводяться в ранг основних постулатів теорії електрики. Вони входять у систему основних рівнянь Максвелла.