§96 Вектор електричної індукції. Теорема Гаусса для діелектриків [9]

1. Джерелом електричного поля в електростатиці є електричні заряди і не важливо, чи вони є сторонніми, чи зв’язаними. Тому для обчислення електричного поля у діелектриках необхідно враховувати як вільні, так і сторонні електричні заряди. Це є відображенням того, що коли відомі всі первинні (сторонні) й індуковані (поляризаційні) заряди, то при обчисленні повного електричного поля можна «забути» про наявність речовини. Повне поле знайдеться суперпозицією полів, які збуджуються у вакуумі всіма первинними й індукованими зарядами. Тому теорему Гаусса для електричного поля у діелектрику потрібно записати у вигляді

            ,           (96.1)

де  та  є відповідно вільні та сторонні заряди, які розміщені всередині поверхні . Візьмемо до уваги, що

            .

Тоді отримаємо

            ,           (96.2)

Введемо новий вектор

            ,           (96.3)

який називається вектором електричної індукції або електричного зміщення. Тоді 

            .           (96.4)

Вираз (96.4) і є теоремою Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральній формі. Бачимо, що потік вектора  через замкнену поверхню визначається тільки вільними зарядами всередині цієї поверхні. Саме цим і виправдовується введення вектора .

2. Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса для вектора електричної індукції  та зв’язок заряду з об’ємною густиною електричного заряду  з (96.4) неважко знайти теорему Гаусса для електричного поля в діелектрику в диференціальному вигляді

            .           (96.5)

Нагадаємо, що теорема Гаусса є вірною не тільки в електростатиці, але й в електродинаміці.