§98 Умови на межі поділу двох діелектриків [17]

 

1. Знайдемо умови, яким повинні задовольняти вектори  й  на межі розділу двох однорідних і ізотропних діелектричних середовищ. Розглянемо достатньо малу ділянку межі, через це її можна вважати плоскою, а поля поблизу неї однорідними. Величини, що характеризують поле в першому середовищі, будемо позначати індексом 1, у другому середовищі – індексом 2 (див. рис. 98.1).

Помістимо діелектрики у зовнішнє електричне поле . У кожному з діелектриків поблизу поверхні розділу з'являться поляризаційні заряди із густиною  та , які будуть мати протилежні знаки. Границя розділу виявиться зарядженою з поверхневою густиною заряду , в результаті чого з'явиться додаткове електричне поле

            ,           (98.1)

яке є перпендикулярним до межі розділу й направлене в кожному з діелектриків у протилежні боки (рис. 98.1). Співвідношення (98.1) отримали, використовуючи формулу для електричного поля зарядженої площини. Поле індукованих зарядів  накладається на зовнішнє . У результаті загальне поле дорівнює

            .           (98.2)

Позначимо напруженість повного (результуючого) поля в кожному з діелектриків через  й , розкладемо кожне із цих полів на дві складові: тангенціальну (дотичну) до межі розділу ( і ) і нормальну (перпендикулярну) до границі ( і ). Будемо вважати, що нормаль направлена від діелектрика 1 до діелектрика 2. Тоді виходячи з (98.2) та того, що  є перпендикулярним до межі, знаходимо

            ,  ,        (98.3а)

            ,  .        (98.3б)

З (98.3) легко отримати, що тангенціальні (дотичні) складові електричного поля не змінюються і їх значення в обох діелектриках буде однаковим

            .           (98.4)

Це пов’язано з тим, що електричне поле зарядів поверхні розділу є перпендикулярним до цієї поверхні. З системи (98.3) легко також отримати, що нормальні складові поля будуть різними; їх різниця дорівнює

            ,           (98.5)

де  і  – нормальні складові вектора поляризації в кожному з діелектриків. Нагадаємо, нормальна складова вектора поляризації дорівнює густині зв’язаних або поляризаційних зарядів (). Далі співвідношення (98.5) подамо у вигляді

           

або

            .           (98.6)

Тут використали визначення індукції електричного поля. Таким чином, нормальні складові індукції електричного поля не змінюються і їх значення в обох діелектриках буде однаковим.

Якщо використати те, що напруженість та індукція електричного поля пов’язані між собою співвідношенням , то нормальних складових напруженості електричного поля та тангенціальних складових індукції електричного поля можна отримати зв’язок

            ,  .        (98.7)

Таким чином, нормальна складова напруженості електричного поля при переході через межу розділу двох діелектриків стрибком змінює своє значення. Причиною цього є наявність індукованого електричного заряду на межі поділу двох діелектриків. Також стрибком змінює значення і тангенціальна складова індукції електричного поля.

 

 

 

§99 Електричне поле усередині діелектричної пластини, яка розміщена перпендикулярно до напрямку поля. Електричне поле усередині діелектричного сферичного шару. Фізичний зміст діелектричної проникності [5]

 1. Розглянемо електричне поле усередині діелектричної пластини, яка розміщена перпендикулярно до напрямку поля. Припустимо, що однорідне електричне поле за умови відсутності діелектрика дорівнює . Внесемо в це поле пластину з діелектрика з проникністю , розмістивши її перпендикулярно до напрямку поля  (див. рис. 99.1). Під дією поля діелектрик поляризується й на поверхнях пластини з'являться зв'язані заряди густиною  та . Ці заряди створюють поле зв’язаних зарядів , яке накладається на зовнішнє . Таким чином, результуюче поле буде дорівнювати . Для того, щоб знайти результуюче поле  використаємо умову на границі двох діелектриків

            ,           (99.1)

де  – нормальна складова вектора індукції електричного поля в діелектрику,  – нормальна складова вектора індукції електричного поля в вакуумі. Також тут використали, що діелектрична пластинка розміщена перпендикулярно до напрямку поля і тому . Тобто напрямки нормалі до поверхні межі діелектрик-вакуум та вектора напруженості електричного поля збігаються між собою. Таким чином, співвідношення (99.1) можемо подати у вигляді

             або .   (99.2)

Через те, що як зовнішнє поле, так і поле в діелектрику є однорідним, то формула (99.2) визначає електричне поле не тільки на межі розділу діелектрик-вакуум, а й у всьому діелектрику. Таким чином, отримали формулу (99.2), яка визначає напруженість електричного поля всередині діелектричної пластини, яка розміщена перпендикулярно до напрямку поля.

 

 

2. Розглянемо електричне поле усередині сферичного шару з діелектрика, в центрі якого розміщено сторонній точковий заряд. Помістимо в центр сферичного шару з діелектрика з проникністю  сторонній точковий заряд  (рис. 99.2). На внутрішній поверхні шару з'явиться від’ємний, а на зовнішній поверхні – додатний зв'язані заряди. Ці заряди будуть розподілені сферично симетрично і тому сферичну симетрію результуючого електричного поля не змінять. Силові лінії результуючого електричного поля будуть направлені вздовж радіальних ліній.

Для знаходження електричного поля всередині шару з діелектрика використаємо теорему Гаусса для діелектрика

            ,           (99.3)

де  – сторонній заряд всередині поверхні інтегрування .

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді концентричної із сферичним шаром з діелектрика сферичну поверхню радіуса . Для всіх точок цієї поверхні через сферичний розподіл сторонніх і зв’язаних зарядів можемо записати . Тому потік вектора  через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

            .           (99.4)

Тепер знайдемо сторонній заряд всередині поверхні інтегрування. Зрозуміло, що він дорівнює  (). Далі підставляємо (99.4) в (99.3) і з урахуванням того, що , отримуємо

            .           (99.5)

Далі використаємо зв’язок між індукцією і напруженістю електричного поля

            ,           (99.6)

де  діелектрична проникність середовища на поверхні інтегрування радіуса , і знайдемо

             або .   (99.7)

Тут  – напруженість електричного поля за умови відсутності діелектрика. Таким чином, отримали формули (99.7), які визначають електричне поле як усередині сферичного шару з діелектрика, в центрі якого розміщено сторонній точковий заряд, так і за його межами, де діелектричну проникність потрібно покласти такою, що дорівнює одиниці ().

3. Для обох розглянутих вище прикладів є характерним те, що діелектрик був однорідним й ізотропним, а його поверхні збігалися з еквіпотенціальними поверхнями поля сторонніх зарядів. Отриманий нами в цих випадках результат є загальним: якщо однорідний і ізотропний діелектрик з діелектричною проникністю  повністю заповнює об'єм, що обмежений еквіпотенціальними поверхнями поля сторонніх зарядів, то напруженість електричного поля визначається співвідношенням , де  напруженість електричного поля за умови відсутності діелектрика.

Таким чином, у вище описаних випадках діелектрична проникність  визначає, у скільки разів зменшується поле в діелектрику. В цьому полягає фізичний зміст діелектричної проникності.