§100 Умови рівноваги зарядів на провіднику. Електричне поле усередині провідника. Напруженість електричного поля біля поверхні провідника [9]

 

1. Зміщення електричних зарядів у металах і діелектриках під дією зовнішнього електричного поля (виникнення індукованих зарядів) носять зовсім різний характер. У металах є вільні електрони, які в межах провідника можуть вільно переміщуватися на будь-які відстані під впливом будь-якої малої сили. Тому індукційні заряди, які виникають в електричному полі на протилежних кінцях металевого тіла, можуть бути механічно відділені один від одного. Візьмемо два металевих циліндри  і , які встановлені на ізолюючих підставках і з'єднаних з електроскопами (рис. 100.1). Зблизимо їх так, щоб вони торкались один одного. Якщо до них піднести заряджену кулю , то стрілки обох електроскопів відхиляться. При віддаленні кулі  відхилення пропадає. Розсунемо тепер циліндри А і В у присутності зарядженого тіла , а потім тіло  віддаляємо. Електричні заряди на А і В, а також на стержнях і стрілках електроскопів збережуться. Якщо куля  була заряджена додатно, то на  виявиться від’ємний, а на  – додатний заряди.

2. Доведемо, що напруженість електричного поля у провіднику дорівнює нулю. Якби усередині однорідного провідника існувало макроскопічне електричне поле, то воно викликало б рух вільних електронів. У провіднику виник би електричний струм. Цей електричний струм приводить до перерозподілу електричних зарядів, у результаті якого загальне електричне поле зменшується (в протилежному разі на базі цього явища можна б було створити вічний двигун першого роду). Рух електронів припиняється, коли напруженість електричного поля в металі зменшиться до нуля. Таким чином, для рівноваги електричних зарядів необхідно, щоб макроскопічне поле  дорівнювало нулю в усіх точках усередині однорідного провідника.

Для того щоб визначити густину електричного заряду всередині провідника, використаємо теорему Гаусса в диференціальній формі

            .           (100.1)

Звідси випливає, що коли у всіх точках провідника , то і . Таким чином, при рівновазі об'ємна густина електричного заряду усередині однорідного провідника дорівнює нулю. Електричний заряд може розміщуватися тільки на поверхні, а не усередині провідника.

Електричні заряди розміщуються на поверхні провідника тому, що між ними діють кулонівські сили притягання й відштовхування. Припустимо, що усередині провідника виникли електричні заряди. Притягання між різнойменними зарядами приведе до їх зближення й нейтралізації, а відштовхування однойменних зарядів – до того, що вони розійдуться якнайдалі й розмістяться на поверхні тіла.

3. Знайдемо напруженість електричного поля біля поверхні провідника, який знаходиться у рівноважному стані. Для розв’язання цієї задачі використаємо теорему Гаусса. Візьмемо до уваги, що в рівноважному стані напруженість електричного поля біля поверхні провідника має відмінну від нуля лише нормальну (перпендикулярну) до поверхні провідника складову (), тангенціальна ж складова дорівнює нулю (). Якби була відмінною від нуля тангенціальна складова, то вздовж поверхні провідника протікав би електричний струм, і цей стан не був би рівноважним. Крім того також використаємо, що електричне поле всередині провідника відсутнє.

 

 

Виходячи з вищеописаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді циліндра з твірними, які перпендикулярні до поверхні провідника, і основами величиною , одна з яких розміщена усередині, а інша поза провідником (рис. 100.2). Потік вектора напруженості електричного поля через частину поверхні інтегрування, що знаходиться всередині провідника, дорівнює нулю, тому що там напруженість електричного поля дорівнює нулю. Поза провідником у безпосередній близькості до нього напруженість поля  направлена вздовж нормалі до поверхні. Тому для виступаючої ззовні бічної поверхні циліндра потік буде теж дорівнювати нулю, оскільки у кожній її точці вектор напруженості електричного поля  і нормаль до бічної поверхні  взаємно перпендикулярні (). Зовнішня основа розміщена дуже близько до поверхні провідника і є малою за площею. Тому в кожній її точці можна вважати напруженість електричного поля однаковою і такою, що дорівнює . Таким чином, потік через цю основу буде дорівнювати . У результаті можемо записати, що потік через всю замкнену поверхню інтегрування дорівнює

            .           (100.2)

Заряд, що знаходиться всередині поверхні інтегрування (обмеженою цією поверхнею) неважко знайти (див. рис. 100.1)

            ,           (100.3)

де  – поверхнева густина електричного заряду в точці провідника, де розміщена поверхня інтегрування. Далі використаємо теорему Гаусса, згідно якої

            ,           (100.4)

де  – заряд, який знаходиться всередині поверхні інтегрування. Підставляємо (100.2) й (100.3) в (100.4) і отримуємо шукану напруженість електричного поля біля поверхні провідника

            .           (100.5)

Зазначимо, що вектор  направлений перпендикулярно до поверхні провідника.

4. Використовуючи зв’язок між напруженістю електричного поля та потенціалом, неважко з’ясувати, що потенціал всіх точок провідника у рівноважному стані є однаковим. Як відомо, різницю потенціалів двох довільних точок можна знайти за допомогою співвідношення

            .           (100.6)

Лінію , вздовж якої проводиться інтегрування можна вибрати довільно тому, що електричне поле є потенціальним (відповідна сила є консервативною), і інтеграл (100.6) для електростатичного поля не залежить від лінії інтегрування. Виберемо цю лінію таким чином, щоб вона повністю знаходилася всередині провідника і з’єднувала дві довільні точки провідника. Як відомо, напруженість електричного поля всередині провідника дорівнює нулю, і тому інтеграл в правій частині (100.6) теж буде дорівнювати нулю. Це означає, що для довільних точок провідника , тобто

            .           (100.7)

Таким чином, потенціал всередині і на поверхні провідника є сталою величиною.