§102 Конденсатор. Ємність конденсатора. Ємність плоского і циліндричного конденсатора. Ємність системи, що складається з послідовно та паралельно з’єднаних конденсаторів [5]

1. Ємність відокремлених провідників невелика. Наприклад, куля таких розмірів, як Земля, має ємність усього лише 700 мкФ. Разом з тим бувають потрібні пристрої, які при невеликому потенціалі нагромаджували б на собі («конденсували») великі заряди.

Конденсатор складається з двох провідників-обкладок, відокремлених прошарком діелектрика. Наближаючи обкладки і розміщуючи між ними ізоляційний прошарок з високою діелектричною проникністю можна створити конденсатори великої ємності. Такий конденсатор дає можливість нагромаджувати на обкладках великі заряди при невисоких напругах і малих розмірах приладу. Зазначимо, що електричне поле конденсатора майже повністю локалізоване у вузькому зазорі між його обкладками і тому на нього не впливають навколишні тіла (через це навколишні тіла на ємність конденсатора не впливають). Його обкладки мають заряди однакової величини, але протилежні за знаком.

Умові, щоб електричне поле було зосереджено усередині конденсатора, задовольняють дві пластинки, розташовані близько одна до одної, два коаксіальних циліндри й дві концентричні сфери. Відповідно бувають плоскі, циліндричні й сферичні конденсатори.

Як показують досліди, відношення абсолютної величини заряду до модуля різниці потенціалів обкладок залишається сталим: . Це відношення називається взаємною ємністю або просто ємністю конденсатора, тобто

            .           (102.1)

Різницю потенціалів  називають напругою  між відповідними точками. Тому формулу (102.1) можна подати у вигляді

            ,           (102.2)

де  – напруга між обкладками.

Ємність конденсаторів виміряється в тих же одиницях, що і ємність відокремлених провідників, тобто в фарадах (1 Ф=1 Кл/В).

 

 

2. Знайдемо ємність плоского конденсатора (див. рис. 102.1). Нехай площа обкладки дорівнює , а відстань між обкладками . Зазор між обкладками вважаємо заповненим діелектриком із проникністю . Якщо  багато менше лінійних розмірів обкладок, то між обкладками поле буде таким, як поле двох нескінченних різнойменно однорідно заряджених площин. Тільки поблизу країв обкладок поле буде поступово послаблюватися (розсіюватися). Тому ми не внесемо істотної похибки, коли будемо напруженість електричного результуючого поля  від різнойменно заряджених обкладок в об’ємі конденсатора обчислювати з використанням формули для нескінченно зарядженої площини

            .           (102.3)

Тут використали, що поверхнева густина електричного заряду  дорівнює відношенню заряду , що перебуває на обкладці, до площі обкладки ; також прийняли до уваги, що діелектрик послабляє поле в  раз. Використовуючи зв’язок між напруженістю електричного поля та різницею потенціалів, знаходимо напругу між обкладками

           

(напрямок осі  показано на рис. 102.1). Далі, використовуючи визначення електроємності (102.1), знаходимо ємність плоского конденсатора

            .           (102.4)

 

 

3. Знайдемо ємність циліндричного конденсатора (див. рис. 102.2). Нехай радіуси циліндричних поверхонь дорівнюють відповідно  та . Зазор між обкладками вважаємо заповненим діелектриком із проникністю . Якщо довжина  обкладок циліндричного конденсатора набагато більша за відстань між коаксіальними циліндричними обкладками , то розсіюванням поля поблизу країв обкладок можна знехтувати й обчислювати поле в зазорі за формулою напруженості електричного поля однорідно зарядженої циліндричної поверхні

            .

Тут використали, що лінійна густина електричного заряду . Також зазначимо, що результуюче поле між обкладками циліндричного конденсатора створює лише внутрішня циліндрична поверхня радіусом  (). Зовнішня ж поверхня електричного поля у внутрішній області електричного поля не створює (як відомо, всередині провідника електричне поле від заряду на цьому провіднику дорівнює нулю). Напругу між обкладками знаходимо, використовуючи зв’язок між напруженістю електричного поля та різницею потенціалів

            .

Далі з визначення електроємності (102.2) знаходимо ємність циліндричного конденсатора

            .           (102.5)

4. Маючи деякий набір конденсаторів, можна одержати багато різних значень ємності, якщо застосувати з’єднання конденсаторів у батареї. Знайдемо ємність батареї конденсаторів, які з’єднані паралельно.

При паралельному з’єднанні усі додатні та усі від’ємні обкладки конденсаторів з’єднуються між собою (див. рис. 102.3). Тому одна з обкладок кожного конденсатора має потенціал , а інша . На кожному -му конденсаторі з’являється заряд , який дорівнює згідно з визначенням ємності . Загальний заряд батареї тоді буде дорівнювати сумі зарядів на кожному окремому конденсаторі

            .

 

 

Розділивши цей загальний заряд на прикладену до батареї напругу , знайдемо ємність батареї, у якій конденсатори з’єднані паралельно:

             або .   (102.6)

Таким чином, при паралельному з’єднанні конденсаторів їх ємності складуються.

 

 

5. Знайдемо ємність батареї конденсаторів, які з’єднані послідовно.

При послідовному з’єднанні (рис. 102.4) від’ємно заряджена обкладка першого конденсатора з’єднується з додатно зарядженою обкладкою другого, від’ємно заряджена обкладка другого – з додатно зарядженою обкладкою третього і т.д. Провідник, що знаходиться між обкладками сусідніх конденсаторів виявляється електрично ізольованим. Тому для цього провідника виконується закон збереження електричного заряду. Таким чином, сумарний електричний заряд на цьому провіднику, який дорівнює сумі заряду додатно зарядженої обкладки одного конденсатора та заряду від’ємно зарядженої обкладки другого конденсатора, дорівнює нулю. Тобто заряди, які виникають на конденсаторах, що з’єднані послідовно, за модулем однакові та протилежні за знаком. Позначимо заряд конденсатора через . Напругу на кожному -му конденсаторі можна обчислити, виходячи з визначення ємності, . Сума цих напруг дорівнює напрузі , яка прикладена до батареї:

            .           (102.7)

Виходячи з визначення (102.2), знаходимо ємність батареї

             або .   (102.8)

Таким чином, обернена ємність батареї, в якій конденсатори з’єднані послідовно, дорівнює сумі обернених ємностей конденсаторів, з яких складається ця батарея.