§103 Енергія системи точкових зарядів [5]

1. Як відомо, кулонівські сили консервативні. Консервативним силам завжди у відповідність можна поставити потенціальну енергію. Отже, система точкових зарядів  має взаємну потенціальну енергію. Щоб знайти вираз для цієї енергії, припустимо, що заряди послідовно переміщуються з нескінченності у відповідні точки поля (рис. 103.1). Почнемо із заряду . Його перенесення з нескінченності в точку 1 не вимагає виконання роботи, оскільки інші заряди віддалені від нього на нескінченність і з ним не взаємодіють .

 

 

Для перенесення заряду  з нескінченності в точку 2 потрібно виконати роботу проти сил електричного поля, яке створюється зарядом . Зрозуміло, що ця робота дорівнює добутку  на потенціал  поля, яке створюється зарядом  у точці 2:

            .

Для перенесення заряду  з нескінченності в точку 3 потрібно виконати роботу, яка дорівнює добутку  на потенціал  поля, яке створюється зарядами  й  у точці 3:

            .

Сума робіт чисельно буде дорівнювати енергії системи трьох зарядів:

            .

Врахувавши, що, наприклад,  отриманій формулі можна надати симетричний вигляд:

            .

При підсумовуванні індекси  й  пробігають незалежно один від одного значення 1,2,3; доданки, у яких , виключаються.

Відзначимо, що отриманий нами вираз для енергії  не залежить від того, у якій послідовності переносяться заряди з нескінченності у відповідні точки простору.

Можна переконатися у тому, що аналогічна формула має місце для системи будь-якого числа  точкових зарядів з тією лише відмінністю, що індекси  й  пробігають при підсумовуванні значення 1,2,…, :

            .           (103.1)

Підкреслимо, що вираз (103.1) визначає роботу, яку потрібно виконати, щоб заряди, які спочатку знаходилися на нескінченно великих відстанях один від одного, розмістити в заданих точках простору. Ця робота залежить від відстаней  між зарядами, тобто від конфігурації системи зарядів.

Формулі (103.1) можна надати вигляду

             або ,   (103.2)

де

                        (103.3)

є потенціал електричного поля у точці, де знаходиться заряд , і який створюється усіма зарядами, крім заряду .

Таким чином, енергія взаємодії   точкових зарядів визначається формулою (103.2), де потенціал  визначається формулою (103.3).