§106 Електричний струм. Густина електричного струму з мікроскопічної точки зору. Рівняння неперервності для електричного заряду [5,9]

1. Електричним струмом називається впорядкований рух електричних зарядів. Носіями струму можуть бути електрони, а також позитивні й від’ємні іони, тобто атоми або молекули, що втратили або приєднали до себе один або кілька електронів.

Носії струму у звичайному стані перебувають у хаотичному тепловому русі. Через уявну площу переноситься в обох напрямках однаковий заряд і тому електричний струм відсутній. При наявності електричного поля на хаотичний рух накладається впорядкований рух носіїв – виникає електричний струм.

Кількісною характеристикою електричного струму служить величина заряду, яка переноситься через розглянуту поверхню за одиницю часу. Її називають силою електричного струму:сила. Відзначимо, що сила струму є за своєю суттю потоком заряду через поверхню. Якщо за час  через поверхню переноситься заряд , то сила струму  дорівнює

            .           (106.1)

Струм, що не змінюється з часом, називається постійним. Одиницею сили струму є ампер (А). Його визначення буде дано пізніше. У міжнародній системі одиниць СІ ампер є основною одиницею.

2. Електричний струм може бути розподілений у просторі, де він тече, нерівномірно. Більш детально можна охарактеризувати струм за допомогою векторної величини , яку називають густиною електричного струму. Щоб визначити густину електричного струму в деякій точці простору, потрібно взяти в цій точці елементарну площадку , яка є перпендикулярною до напрямку впорядкованого руху носіїв струму. Розділивши силу струму , що тече через цю площадку, на , отримаємо модуль густини струму:

            .           (106.2)

За напрямок вектора  береться напрямок швидкості  впорядкованого руху додатних носіїв.

Якщо вектор густини струму відомий, то можна обчислити силу струму, що протікає через будь-яку уявну поверхню . Для цього потрібно розбити  на елементарні площадки . Згідно (106.2) струм  через площадку  дорівнює

            ,

де  – кут між перпендикуляром до площі  та напрямком вектора . Підсумувавши струми через всі елементарні площі, отримаємо силу струму, що тече через поверхню :

            .           (106.3)

Звідси випливає, що сила струму дорівнює потоку вектора густини струму через задану поверхню.

3. Знайдемо зв’язок густини електричного струму з швидкістю носіїв електричного струму (густина електричного струму з мікроскопічної точки зору).

Виділимо подумки в середовищі, в якому тече струм, довільний фізично нескінченно малий об'єм і позначимо через  середній вектор швидкості носіїв у цьому об'ємі. Його називають середньою, дрейфовою або впорядкованою швидкістю руху носіїв струму. Позначимо далі через  концентрацію носіїв струму, тобто число їх в одиниці об'єму. Проведемо нескінченно малу площадку , що перпендикулярна до швидкості . Побудуємо на ній нескінченно короткий прямий циліндр із висотою , як зазначено на рис. 106.1. Всі частинки, що знаходяться усередині цього циліндра, за час  пройдуть через площадку  і перенесуть через неї в напрямку швидкості  електричний заряд , де  – електричний заряд носіїв струму. Далі використаємо визначення сили електричного струму і густини електричного струму і отримуємо

            .

Тобто густина електричного струму дорівнює

            .           (106.4)

У випадку кількох типів зарядів, які створюють електричний струм, густина електричного струму визначається виразом

            ,           (106.5)

 

де підсумовування ведеться за усіма типами носіїв електричного струму ( означають концентрацію, заряд та впорядковану швидкість -го носія).

4. Одним із фундаментальних фізичних законів є закон збереження електричного заряду. Виразимо його математично через макроскопічні величини: густину електричного заряду  і густину електричного струму . Візьмемо в середовищі довільну замкнену поверхню , що обмежує об'єм  (рис. 106.2). Кількість електричного заряду, що за одиницю часу витікає з об'єму  через поверхню  (сила електричного струму), можна подати інтегралом (див. 106.3) . Цю ж величину можна подати у вигляді , де  – заряд, що знаходиться в об’ємі  (знак мінус пов’язаний з тим, що коли густина електричного струму є додатною, то заряд всередині об’єму  зменшується). Прирівнюючи обидва вирази, отримаємо математичне формулювання закону збереження електричного заряду в інтегральному вигляді

            .           (106.6)

Тут ми використовуємо символ частинної похідної , щоб підкреслити, що поверхня  повинна залишатися нерухомою.

Знайдемо диференціальний вигляд співвідношення (106.6). Представивши  у вигляді  і перетворивши поверхневий інтеграл в об'ємний за допомогою теореми Остроградського-Гаусса , прийдемо до співвідношення

            .

Це співвідношення повинне виконуватися для довільного об'єму , а тому

            .           (106.7)

Формули (106.6) і (106.7) виражають закон збереження електричного заряду в макроскопічній електродинаміці. Остання формула називається також рівнянням неперервності.

Якщо струми є стаціонарними, тобто не залежать від часу, то формули (106.6), (106.7) переходять у

             або  .  (106.9)