§112 Процеси встановлення струму під час заряду і розряду конденсатора [9]

 

 

1. Припустимо, що миттєве значення струму однакове у всіх поперечних перерізах провідника, що з'єднує обкладки конденсатора, а миттєве електричне поле таке саме, як в електростатиці при тих же зарядах на обкладках конденсатора. Струми й поля, що задовольняють цим умовам, називають квазистаціонарними.

Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при розрядженні конденсатора.

Якщо обкладки конденсатора з зарядом  у початковий момент часу з'єднати провідником з опором , то по провіднику пройде струм (див. рис. 112.1). Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.1). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює

            .           (112.1)

Тут враховано, що на цій ділянці ;  та  – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.1). З іншого боку, згідно з означенням ємності конденсатора

            , або ,  (112.2)

де  – заряд на пластині 1 конденсатора. Також зазначимо, що виходячи з означення сили електричного струму

            ,           (112.3)

де  – кількість заряду, що пройшла через поперечний переріз провідника за час . Із закону збереження електричного заряду випливає, що . Тобто коли сила струму  буде додатною, то заряд на пластині 1 конденсатора  буде зменшуватися (тобто  буде від’ємним), саме цим міркуванням обумовлений знак «–» у формулі (112.3).

Далі підставляємо (112.2) та (112.3) в (112.1) і отримуємо

            .          

Звідси,

            , або .

З отриманих формул знаходимо, що заряд на конденсаторі змінюється з часом за законом

            ,           (112.4)

де  – початкове значення заряду конденсатора, а  – стала:

            ,           (112.5)

що має розмірність часу. Вона називається часом релаксації. Через час  заряд конденсатора зменшується в  раз. Тому  за порядком величини дорівнює часу, протягом якого конденсатор розрядиться.

Використовуючи формулу (112.3) та (112.4), знаходимо закон зміни струму з часом:

            ,           (112.6)

де  – початкове значення струму, тобто струм при .

2. Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при зарядженні конденсатора.

Це завдання вирішується аналогічно до вищевикладеного. Нехай у коло конденсатора з опором  включено джерело струму з постійною електрорушійною силою  (див. рис. 112.2). Після замикання ключа  джерело збуджує струм, що заряджає конденсатор. Електричні заряди, що з’являються на обкладках конденсатора перешкоджають проходженню струму й зменшують його.

Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.2). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює

            .           (112.7)

Тут  та  – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.2). Різницю потенціалів  знаходимо аналогічно як і в (112.2) , де  – заряд на пластині 1 конденсатора. Стум на опорі  і заряд на пластині 1 конденсатора  пов’язані співвідношенням (112.3) . Також тут потрібно звернути увагу не те, що джерело струму у випадку рис. 112.2 включено так, що діє у напрямку, протилежному напрямку обходу контура (напрямок обходу тут вибрано проти годинникової стрілки, напрямок сили струму збігається з напрямком обходу). Тому у співвідношення (112.7) потрібно підставити ЕРС із знаком «–»: . Також у (112.7) підставляємо різницю потенціалів і силу струму і отримуємо

            .

Це рівняння можемо перетворити

            .           (112.8)

Співвідношення (112.8) є неоднорідним диференціальним рівняння. Воно зводиться до однорідного, якщо його записати у вигляді

            .

Розділяючи змінні, отримаємо

             або .

Тут використали, що в момент часу  заряд на конденсаторі дорівнював нулю. Далі отримуємо шукану залежність заряду конденсатора від часу

            .           (112.9)

При  заряд  прямує до граничного значення .

Для електричного струму залежність від часу отримуємо, виходячи з (112.3),

            .           (112.10)

Знак «–» говорить про те, що струм у контурі (див. рис. 112.2) проходить у зворотному напрямку до обходу контуру. Струм максимальний у початковий момент і дорівнює . Далі він зменшується за експонентним законом.