§114 Якісні уявлення про електропровідність металів з точки зору класичної теорії. Закон Ома та Джоуля-Ленца з погляду класичної теорії електропровідності. Недоліки класичної теорії електропровідності [5]

1. Якісні уявлення про електропровідність металів. Виходячи з уявлення про вільні електрони, Друде створив класичну теорію електропровідності металів у 1900 р., яка потім була удосконалена Лоренцом. Друде припустив, що носії струму в металах – електрони поводяться подібно молекулам ідеального газу. У проміжках між зіткненнями вони рухаються під час відсутності поля вільно, пробігаючи в середньому деякий шлях . На відміну від молекул газу, пробіг яких визначається зіткненнями молекул одна з одною, електрони зіштовхуються переважно не між собою, а з іонами, що утворюють кристалічну решітку металу. Ці зіткнення приводять до встановлення теплової рівноваги між електронним газом і кристалічною решіткою.

Для оцінки середньої швидкості теплового руху електронів провідності в металах скористаємося формулою для середньої швидкості теплового руху молекули, поклавши температуру такою, що дорівнює 300 К:

            .

У цій формулі  – маса електрона;  – стала Больцмана.

Після включення електричного поля на хаотичний рух, який відбувається зі швидкістю , накладається впорядкований рух електронів з деякою середньою швидкістю . Величину цієї швидкості легко оцінити, виходячи з формули

            ,           (114.1)

де  та  є відповідно концентрація та заряд електрона. Найбільша можлива густина електричного струму, коли провідник ще не перетворюється на рідину через виділення великої кількості тепла, для міді дорівнює близько  А/м2. Якщо взяти для  значення  м–3, то отримаємо

             м/с.

Таким чином, навіть при дуже великих густинах електричного струму середня швидкість впорядкованого руху електронів  приблизно в  разів менше середньої швидкості теплового руху . Тому в обчисленнях модуль результуючої швидкості  можна заміняти модулем теплового руху .

2. Закон Ома. Друде припускав, що електричне поле збільшує швидкість електрона і надає йому деяку додаткову енергію. Під час зіткнення електрона з іоном решітки набута ним за час пробігу додаткова енергія повністю передається іону. Далі електричне поле знову прискорює електрон, знову має місце зіткнення і т.д. Отримаємо закон Ома, виходячи з вище описаної моделі руху електрона в металі.

Якщо поле в металі є однорідним, то електрон рухається деякий час  (час пробігу) з постійним прискоренням  ( та  є відповідно зарядом та масою електрона,  є напруженістю електричного поля) й за час пробігу  швидкість упорядкованого руху досягає значення

            ,           (114.2)

де  – довжина вільного пробігу;  – його результуюча швидкість, яка, як ми з’ясували вище, практично збігається з тепловою .

Швидкість  змінюється за час пробігу лінійно. Тому її середнє значення дорівнює половині максимального:

            .

Підставивши це значення середньої швидкості впорядкованого руху носіїв струму у формулу для густини електричного струму, отримаємо

            ,           (114.3)

де  є концентрацією носіїв струму (вільних електронів у металі). Таким чином, ми прийшли до закону Ома в диференціальному вигляді. Більше того, виходячи з класичної теорії електропровідності металів, ми отримали вираз для провідності:

            .           (114.4)

Звідси випливає, якби електрони не мали зіткнень, довжина вільного пробігу, а отже, і провідність були б нескінченно великі. Таким чином, відповідно до класичних уявлень опір металів обумовлений зіткненнями електронів провідності з іонами кристалічної решітки.

3. Закон Джоуля-Ленца. Розглядаємо попередню модель руху електронів у провіднику. Знайдемо середнє значення додаткової кінетичної енергії електронів, що обумовлена дією електричного поля. Швидкість електронів дорівнює сумі швидкості теплового руху  й швидкості впорядкованого руху . Середнє значення квадрата результуючої швидкості дорівнює

            ,

де  – кут між векторами  й  (усереднення виконується за усіма електронами). Швидкість  хаотичного руху має з рівною ймовірністю найрізноманітніші напрямки. Тому всі значення  від –1 до +1 мають однакову ймовірність. Через цю причину середнє значення  дорівнює нулю. Таким чином,

            .

Звідси випливає, що середня кінетична енергія електронів складається з постійного доданка  й додаткового доданка

            ,

який обумовлений полем.

У момент перед зіткненням   має значення  (див. формулу (114.2)) й додаткова кінетична енергія дорівнює

            .           (114.5)

Зіштовхнувшись із іоном, електрон, за припущенням, віддає йому (тобто решітці) всю отриману ним додаткову енергію. Кожний електрон має за секунду  зіткнень, передає щоразу решітці енергію (114.5). Тому в одиниці об'єму за одиницю часу буде виділятися кількість теплоти

            ,           (114.6)

де  є провідністю, формула для якої збігається з (114.3). Зазначимо, що закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі має вигляд

            .           (114.7)

Порівнюючи (114.7) та (114.6) бачимо, що отримане співвідношення (114.6) є законом Джоуля Ленца в диференціальному вигляді. Співвідношення для провідності , які отримані з закону Ома (114.3) та закону Джоуля-Ленца, збігаються між собою.

4. Недоліки класичної теорії електропровідності металів. Підбиваючи підсумок, можна сказати, що класична теорія електропровідності змогла пояснити закони Ома й Джоуля-Ленца, а також дала якісне пояснення деяким іншим законам. Разом з тим ця теорія зустрілася з досить істотними утрудненнями.

З формули (114.4) випливає, що опір металів  (тобто величина, зворотна до ) повинна зростати

             

як корінь квадратний з температури. Дійсно, для припущення про залежність величин  і  від температури немає ніяких підстав. Швидкість же теплового руху пропорційна кореню з температури . Цей висновок теорії суперечить дослідним даним, згідно яким електричний опір металів росте пропорційно першого ступеня температури , тобто швидше, ніж .

Як відомо, при низьких температурах у металах спостерігається відсутність опору (явище надпровідності). Класична теорія електропровідності явище надпровідності не змогла пояснити.

Нарешті, класична теорія не змогла пояснити самого головного – чому електрони в металах виявляються вільними.

Недоліки класичної теорії електропровідності пов’язані з тим, що об’єкти мікросвіту, якими є електрони в металах, описуються квантовою, а не класичною механікою.