§12 Сила пружності. Закон Гука. Розтягування і стискування стержнів, модуль Юнга [4]

1. Під дією зовнішніх сил виникають деформації (тобто зміни розмірів і форми) тіл. Якщо після припинення дії зовнішніх сил відновлюються попередні форма й розміри тіла, то таку деформацію називають пружною. Деформація має пружний характер у випадку, коли зовнішня сила не перевищує певного значення, яке називається межею пружності. При перевищенні цієї межі деформація стає пластичною. У цьому випадку після усунення зовнішніх сил початкова форма й розміри тіла повністю не відновлюються. Далі ми будемо розглядати тільки пружні деформації.

 

 

2. У деформованому тілі виникають пружні сили, які врівноважують зовнішні сили, які викликали деформацію. Пояснимо це таким прикладом (див. рис. 12.1). Під дією зовнішньої сили  пружина отримує видовження , у результаті чого в пружині виникає пружна сила , що врівноважує силу . Пружні сили виникають у всій деформованій пружині. Будь-яка частина пружини діє на іншу частину із силою, що дорівнює  (рис. 12.2).

Встановлений експериментально закон Гука стверджує, що при пружній деформації видовження пружини пропорційно зовнішній силі. Аналітично цей закон можна записати у вигляді

            ,           (12.1)

де  проекція сили пружності на вісь  (див. рис. 12.1);  – деформація (видовження або стиснення) пружини відносно недеформованого стану пружини,  – коефіцієнт жорсткості пружини.

Жорсткість  пружини залежить від матеріалу, розмірів витка й довжини пружини. Якщо розрізати деформовану пружину на дві однакові частини, пружні сили в кожній із частин залишаться попередніми, а видовження  половини пружини буде у два рази менше, ніж у первісної пружини. Звідси згідно (12.1) випливає, що жорсткість «половинної» пружини у два рази більше, ніж цілої.

3. Однорідні стержні поводяться при розтягуванні й стисненні подібно пружині (рис. 12.2). Деформація приводить до виникнення у стержні пружних сил. Ці сили прийнято характеризувати напругою , яку визначають як модуль сили, що припадає на одиницю площі:

                        (12.2)

( – площа поперечного перерізу стержня; вважаємо, що пружна сила розподілена рівномірно по перетину; значок  вказує на те, що сила перпендикулярна до площі, на яку вона діє). У випадку розтягання  вважається додатною, у випадку стиснення – від’ємною.

Дослід дає, що збільшення довжини стержня  пропорційно напрузі  та початковій довжині стержня :

            .           (12.3)

Відзначимо, що знак  збігається зі знаком . Коефіцієнт  у формулі (12.3) характеризує пружні властивості матеріалу стержня. Цей коефіцієнт називають модулем Юнга. Модуль Юнга вимірюється в ньютонах на квадратний метр. Одиниця напруги (а також тиску), що дорівнює ньютону на квадратний метр, називається паскалем (Па).

Формулу (12.3) можна перетворити, позначивши відносне збільшення довжини стержня  буквою . У результаті отримуємо остаточну формулу

            ,           (12.4)

відповідно до якої відносне видовження стержня прямо пропорційно напрузі й обернено пропорційно модулю Юнга. Формула (12.4) виражає закон Гука для стержня.

З (12.4) випливає, що модуль Юнга дорівнює такій нормальній напрузі, при якому відносне видовження дорівнювало б одиниці (тобто збільшення довжини  дорівнювало б початковій довжині  стержня), якби настільки великі пружні деформації були можливі. У дійсності, наприклад, залізні стрижні руйнуються при , що дорівнюють приблизно 0,002; межа пружності досягається при ще менших напругах.

Зазначимо, що розтягання й стиснення стрижнів супроводжується відповідною зміною і їх поперечних розмірів.