§13 Закон збереження імпульсу для системи матеріальних точок [4]

1. У фізиці дуже важливу роль відіграють закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу. Ці закони збереження мають загальний характер – їх можна застосовувати не тільки до механічних явищ, але й взагалі до всіх явищ природи. Закони збереження не залежать від природи й характеру діючих сил. Тому за їх допомогою можна дійти до ряду важливих висновків про поведінку механічних систем навіть у тих випадках, коли сили залишаються невідомими.

2. Векторну величину

            ,

де  – маса матеріальної точки, а  –її швидкість, називають імпульсом матеріальної точки.

Використовуючи поняття імпульсу і беручи до уваги, що маса тіла в класичній механіці є величиною сталою, рівняння другого закону Ньютона  для матеріальної точки можна записати у вигляді

            .           (13.1)

3. Розглянемо систему, що складається з  частинок (матеріальних точок). Знайдемо рівняння, яке визначає зміну у часі повного імпульсу цієї системи.

Імпульсом системи або повним імпульсом системи  називають векторну величину, що дорівнює сумі імпульсів матеріальних точок цієї системи

            .           (13.2)

Тіла системи можуть взаємодіяти як між собою, так і з тілами, що не входять у систему. Відповідно до цього сили, що діють на тіла системи, поділяються на внутрішні й зовнішні. Внутрішніми називають сили, з якими тіла системи взаємодіють між собою, зовнішніми – сили, обумовлені впливом тіл, що не належать системі.

Розглянемо систему, яка складається з  частинок (матеріальних точок). Позначимо через  силу, що діє на  у частинку з боку -ї частинки (перший індекс вказує номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, впливом якої обумовлена ця сила). Зрозуміло,  є внутрішніми силами. Позначимо через  результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на -у частинку. Напишемо рівняння руху всіх  частинок:

            ,

            ………………………………………..,

            ,

            ………………………………………..,

            .

Тут  – імпульс -ї частинки.

Просумуємо відповідно праві та ліві частини цих рівнянь. Ліворуч отримаємо похідну за часом від повного імпульсу системи:

            .

Праворуч відмінною від нуля буде тільки сума зовнішніх сил . Дійсно, суму внутрішніх сил можна подати у вигляді

            .

Відповідно до третього закону Ньютона вираз у кожній з дужок дорівнює нулю. Отже, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю:

            =0.      

З урахуванням цього отримуємо, що

            .           (13.3)

Таким чином, похідна за часом від повного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Формула (2.3) є розв’язком поставленої задачі.

4. Якщо система замкнена, то зовнішні сили відсутні й права частина рівняння (13.3) дорівнює нулю. Відповідно  і, отже, .

Таким чином, ми прийшли до висновку, що повний, сумарний імпульс замкненої системи матеріальних точок залишається постійним. Це твердження становить зміст закону збереження імпульсу.

Зазначимо, що відповідно до формули (13.3) повний імпульс залишається постійним і для незамкненої системи у тому випадку, коли сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю.

Спроектуємо всі вектори, що входять до рівняння (13.3), на деякий напрямок  і отримаємо

            .           (13.4)

Звідси випливає, що для того щоб проекція повного імпульсу на деякий напрямок  була сталою, достатньо, щоб сума проекцій зовнішніх сил на цей напрямок дорівнювала нулю.