§16 Робота сили тяжіння, сили всесвітнього тяжіння, сили пружності. Консервативні сили [4,7]

Всі сили, що зустрічаються в макроскопічній механіці, прийнято розділяти на консервативні й неконсервативні. Розглянемо приклади.

1. Знайдемо роботу сили тяжіння , яку вона виконує при переміщенні матеріальної точки маси  з положення 1 у положення 2 (рис. 16.1). Застосуємо визначення для роботи сили і отримаємо

           

або

            .           (16.1)

Тут використали, що ,  та  y-координати початку та кінця траєкторії матеріальної точки.

 

 

Проаналізуємо отриманий результат. Бачимо, що робота сили тяжіння визначається початковим () та кінцевим () положеннями матеріальної точки. Якщо замість траєкторії  взяти будь-яку іншу траєкторію між тими ж початковими положеннями 1 і 2, наприклад , то робота сили тяжіння не зміниться тому, що вона визначається тільки різницею , яка від форми траєкторії руху матеріальної точки не залежить. Таким чином, робота сили тяжіння (16.1) не залежить від форми траєкторії руху, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями матеріальної точки, що переміщується.

2. Знайдемо роботу сили всесвітнього тяжіння , яку вона виконує при переміщенні матеріальної точки маси  з положення 1 у положення 2. Застосуємо визначення для роботи сили  і отримаємо

           

або

            .           (16.2)

Тут ми використали, що  (для доведення цього достатньо продиференціювати тотожність ).

Бачимо, що робота сили всесвітнього тяжіння (16.2) визначається початковим () та кінцевим () положеннями матеріальної точки з масою  і не залежить від форми траєкторії.

3. Знайдемо роботу сили пружності , яку вона виконує при деформації пружини (тіла) з положення 1 у положення 2 вздовж осі . Застосуємо визначення для роботи сили  і отримаємо

           

або

            .           (16.3)

Тут  – деформація пружини (зміщення відносно недеформованого стану) у початковому положенні;  – деформація пружини у кінцевому положенні. Бачимо, що робота сили пружності (16.3) визначається початковою () та кінцевою () деформаціями.

4. Таким чином, в усіх вищенаведених прикладах робота сили не залежить від форми траєкторії руху, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями матеріальної точки, що переміщується. Такі сили отримали назву консервативні.

Консервативними силами називають такі сили, які залежать тільки від координат, і робота яких при переміщенні матеріальної точки з довільного початкового положення в довільне кінцеве положення не залежить від способу переходу (форми траєкторії), а визначається тільки початковими та кінцевими положеннями.

Можна дати інше визначення консервативних сил, еквівалентне вищенаведеному: консервативними називаються сили, що залежать тільки від координат системи, і робота яких з переміщення матеріальної точки по довільній замкненій траєкторії дорівнює нулю. Еквівалентність формулювань тут доводити не будемо.

Усі сили, що не є консервативними, називають неконсервативними силами. До них відносяться, насамперед, так звані дисипативні сили (робота яких завжди від’ємна), наприклад, сили тертя, що виникають при ковзанні будь-якого тіла по поверхні іншого. Неконсервативними силами є сили опору, що діють на тіло при русі в рідкому або газоподібному середовищі. Їх також іноді називають силами тертя. Всі ці сили залежать не тільки від координат тіл, але й від їх відносних швидкостей. Вони спрямовані завжди проти швидкості тіла (відносно поверхні, по якій тіло ковзає, або відносно середовища, у якому тіло рухається).

Вкажемо ще на один вид неконсервативних сил, які називають гіроскопічними силами. Ці сили залежать від швидкості матеріальної точки й діють завжди перпендикулярно до цієї швидкості. Робота таких сил дорівнює нулю при будь-якому переміщенні матеріальної точки, зокрема і під час її руху по замкненій траєкторії (тут завжди сила перпендикулярна до елементарного переміщення і тому елементарна робота завжди дорівнює нулю ). Від консервативних гіроскопічні сили відрізняються тим, що вони визначаються не тільки положенням, але й швидкістю матеріальної точки, що рухається. Прикладом гіроскопічних сил є магнітна складова сили Лоренца, тобто сила, що діє на заряджену частинку в магнітному полі.