§17 Потенціальна енергія. Взаємний зв’язок потенціальної енергії і консервативної сили [4,7]

1. Якщо на частинку діє консервативна сила, то для неї можна ввести поняття потенціальної енергії. Нескладно показати, що роботу консервативної сили при переміщенні тіла із положення 1 в положення 2 можна подати у вигляді зменшення деякої функції , яка залежить лише від координат,

            .           (17.1)

Така функція називається потенціальною енергією частинки в полі консервативної сили. Інколи потенціальну енергію позначають через , , . Одиницею потенціальної енергії в системі СІ є джоуль (Дж).

Зрозуміло, що введена таким чином потенціальна енергія визначається з точністю до довільної сталої. Тобто функція , де  – довільна стала, теж задовольняє співвідношенню (17.1)

           

            .

Таким чином, потенціальна енергія визначена неоднозначно, з точністю до довільної сталої. Саме тому для довільної точки простору можна вибрати довільну сталу таким чином, щоб потенціальна енергія в цій точці дорівнювала нулю.

Будемо вважати, що в положенні 2 потенціальна енергія дорівнює нулю (). Тоді з співвідношення (17.1) отримаємо, що

            .           (17.2)

Використовуючи отримане співвідношення (17.5), можемо дати інше, еквівалентне визначення потенціальної енергії. Потенціальною енергією тіла в даній точці простору називається величина, яка дорівнює роботі консервативної сили при переході із даної точки простору в точку, де потенціальна енергія вважається такою, що дорівнює нулю.

2. Узагальнимо співвідношення (17.1) на випадок довільної системи матеріальних точок, на які діють лише консервативні сили.

Введемо поняття потенціальної енергії системи матеріальних точок. Потенціальною енергією системи називається сума потенціальних енергій матеріальних точок, з яких ця система складається

            .           (17.3)

Напишемо співвідношення (17.1) для кожної матеріальної точки системи, а потім всі такі співвідношення складемо. У результаті отримаємо співвідношення аналогічне до формули (17.1), але вже не для однієї матеріальної точки, а для системи матеріальних точок

                        (17.4)

Під  розуміємо суму робіт всіх консервативних сил, що діють на матеріальні точки системи при переході із положення 1 в положення 2.

3. Обчислимо потенціальну енергію в деяких найпростіших випадках. Порівнюючи визначення для потенціальної енергії (17.1) та вирази для роботи консервативних сил, можемо записати вирази для відповідних потенціальних енергій.

Потенціальна енергія тіла в полі сили тяжіння

            ,           (17.5)

де вважаємо, що в точці з координатою  потенціальна енергія дорівнює нулю.

Потенціальна енергія тіла в полі сили всесвітнього тяжіння

            ,           (17.6)

де вважаємо, що в точці з координатою  потенціальна енергія дорівнює нулю.

Потенціальна енергія розтягнутої пружини

            ,           (17.7)

де вважаємо, що в точці з координатою  (коли пружина недеформована) потенціальна енергія дорівнює нулю.

4. Знайдемо силу, що діє на частинку в кожній точці поля, за відомим виразом для потенційної енергії  .

Нехай частинка виконала елементарне переміщення . У цьому випадку сили поля виконають над частинкою роботу

            .           (17.8)

З іншого боку, відповідно до формули (17.1), ця робота повинна дорівнювати зменшенню потенційної енергії:

            .           (17.9)

Тут написали, наприклад,  замість , щоб підкреслити ту обставину, що похідна за  обчислюється за умови, що координати  та  залишаються постійними. Похідна, яка обчислена за такої умови називається частинною. Далі прирівняємо (17.8) та (17.9) і знайдемо, що

            ,

або

            .

Зрозуміло, що сума добутків компонент сили на відповідні орти координатних осей дає вектор сили:

            .           (17.10)

Таким чином, співвідношення (17.10) вирішує завдання, що було сформульоване в цьому пункті.

5. Слід зазначити, що вирази, подібні до (17.10) часто зустрічаються у фізиці й математиці. У зв’язку з цим у математиці вводять поняття градієнта. Градієнтом скалярної функції  називають векторну функцію з компонентами

            .           (17.11)

Вираз (17.11) можна розглядати як результат дії на функцію  оператора

            ,           (17.12)

який називається оператором набла. Тому градієнт функції  можна подати у вигляді

            .           (17.13)

Таким чином, використовуючи поняття градієнта та оператора набла, співвідношення (17.10) можемо записати у вигляді

             або .   (17.14)

Тобто консервативна сила дорівнює градієнту потенціальної енергії частинки, взятому зі зворотним знаком.