§18 Повна механічна енергія системи матеріальних точок. Закон збереження повної механічної енергії для системи матеріальних точок. Робота неконсервативних сил [4]

1. Розглянемо перехід системи матеріальних точок із стану 1 в стан 2. Вважаємо, що в системі діють лише консервативні сили. З’ясуємо як при цьому змінюється енергія системи.

За цих умов робота, що виконується усіма консервативними силами, що діють на матеріальні точки системи при переході із положення 1 в положення 2 визначається співвідношенням (18.1)

            .           (18.1)

З іншого боку, згідно теореми про кінетичну енергію для системи матеріальних точок  можемо записати

            .           (18.2)

Прирівнюємо вирази (18.1) та (18.2) і отримуємо

           

або

            .           (18.3)

Сума кінетичної й потенціальної енергій системи називається повною механічною енергією системи матеріальних точок

            .

Тоді співвідношення (18.3) можна записати у вигляді

             або .   (18.4)

Таким чином, у системі, в якій діють лише консервативні (і гіроскопічні) сили повна механічна енергія залишається незмінною. Це твердження називається законом збереження повної механічної енергії для системи матеріальних точок.

2. Розглянемо випадок, коли разом з консервативними діють також і неконсервативні сили. Знайдемо роботу неконсервативних сил. Робота усіх сил  при переході системи із положення 1 у положення 2 як і раніше, згідно теореми про кінетичну енергію системи матеріальних точок, дорівнює збільшенню її кінетичної енергії

            .           (18.5)

Але в розглянутому випадку цю роботу можна подати у вигляді суми роботи консервативних сил  і роботи неконсервативних сил

            .           (18.6)

Роботу ж консервативних сил системи, як відомо, можна виразити через зменшення її потенціальної енергії

            .           (18.7)

Підставляємо співвідношення (18.5), (18.7) в (18.6) і отримуємо

           

або

            .

Використаємо поняття повної механічної енергії () і отримуємо

            .           (18.8)

Таким чином, у випадку, коли в системі діють неконсервативні сили, повна механічна енергія системи матеріальних точок не залишається постійною. Робота неконсервативних сил дорівнює зміні повної механічної енергії системи матеріальних точок.