§20 Момент сили і момент імпульсу. Рівняння моментів для матеріальної точки [7]

1. Важливі закони механіки пов'язані з поняттями моменту імпульсу та моменту сили. Потрібно розрізняти й не змішувати один з одним моменти цих векторів відносно точки й відносно осі. Момент вектора відносно точки й відносно осі – різні поняття, хоча й пов'язані між собою. Момент вектора відносно точки сам є вектором. Момент того ж вектора відносно осі є проекцією на цю вісь його моменту відносно точки, що лежить на тій же осі. Таким чином, момент вектора відносно осі вже не є вектором.

2. Розглянемо моменти відносно точки. Нехай  – будь-яка точка, відносно якої розглядається момент вектора сили або вектора імпульсу (див. рис. 20.1). Цю точку називають полюсом. Позначимо через  радіус-вектор, проведений від цієї точки до точки прикладення сили . Моментом сили  відносно точки  називається векторний добуток радіуса-вектора  на силу :

            .           (20.1)

Для системи матеріальних точок моментом сили системи відносно деякого полюсу  називається сума моментів сил цих точок відносно того ж полюсу.

Аналогічно моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки або полюса  називається вектор, що дорівнює

            ,           (20.2)

де  – імпульс матеріальної точки;  – радіус-вектор, що визначає положенням цієї точки.

Для системи матеріальних точок повним моментом імпульсу системи відносно деякого полюсу  називається сума моментів імпульсів точок системи відносно того ж полюсу.

3. Доцільність введення моментів імпульсу й сили виправдується тим, що вони пов'язані між собою важливим співвідношенням, яке називається рівнянням моментів. Розглянемо випадок, коли точка  є нерухомою. У випадку однієї матеріальної точки, диференціюючи вираз (20.2) за часом, дістанемо . При цьому потрібно прийняти до уваги, що імпульс частинки  є паралельним до її швидкості . Тобто . Крім того, . Таким чином, . У результаті отримуємо

            .           (20.3)

Це рівняння називають рівнянням моментів для однієї матеріальної точки відносно точки обертання .

 

 

4. Момент сили  характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки. Модуль моменту сили виходячи з (20.1) і визначення векторного добутку дорівнює

            ,           (20.4)

де  – кут між вектором  і  (див. рис. 20.1). Вираз (20.4) можна перетворити

            ,           (20.5)

де  – плече сили (див. рис. 20.1). За визначенням плечем сили називають довжину перпендикуляра, який опущено із точки  на пряму, вздовж якої діє сила (див. рис. 20.1).

Аналізуючи вираз (20.5), можемо зробити висновок, що здатність сили обертати тіло залежить не тільки від величини сили , але й від плеча сили .

5. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (20.3) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів відносно осі обертання:

            ,           (20.6)

де  і  є, відповідними проекціями векторів  та  на вісь обертання .