§21 Рівняння моментів для системи матеріальних точок. Закон збереження моменту імпульсу [1]

1. Узагальнимо рівняння моментів на випадок системи матеріальних точок.

Розглянемо систему, яка складається з  частинок (матеріальних точок). Позначимо через  силу, що діє на  у частинку з боку -ї частинки (перший індекс вказує номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, впливом якої обумовлена ця сила). Зрозуміло,  є внутрішніми силами. Позначимо через  результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на -у частинку. Напишемо рівняння моментів для кожної матеріальної точки:

            ,

            ………………………………………..,

            ,

            ………………………………………..,

            .

Тут  – момент імпульсу -ї частинки.

Складемо разом ці рівняння. Ліворуч отримаємо похідну за часом від повного моменту імпульсу системи:

            .           (21.1)

Праворуч відмінною від нуля буде тільки сума зовнішніх моментів сил . Дійсно, суму внутрішніх сил можна подати у вигляді

           

           

            .

Тут, відповідно до третього закону Ньютона,  і направлені ці сили вздовж лінії, що з’єднують точки, до яких ці сили прикладені. Тобто вектори ,  та  є паралельними. Це означає, що . Тобто вираз у кожній з дужок дорівнює нулю.

З урахуванням цього отримуємо, що

            .           (21.2)

Таким чином, похідна за часом від повного моменту імпульсу системи відносно довільної нерухомої точки  дорівнює геометричній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на тіла системи відносно цієї ж точки. Це твердження називають рівнянням моментів для системи матеріальних точок.

2. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (21.2) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання:

            ,           (21.3)

де  і  є відповідними проекціями векторів  та  на вісь обертання .

3. Коли система замкнена, то зовнішні сили відсутні й права частина рівняння (21.2) дорівнює нулю. Це означає, що

            , .         (21.4)

Таким чином, ми прийшли до висновку, що повний, сумарний момент імпульсу замкненої системи матеріальних точок залишається постійним. Це твердження становить зміст закону збереження моменту імпульсу.

Зазначимо, що відповідно до формули (21.2), повний момент імпульсу залишається постійним і для незамкненої системи у тому випадку, коли сума всіх моментів зовнішніх сил дорівнює нулю (=0).

Також повний момент імпульсу залишається постійним і для випадку коли в системі діють центральні сили. Центральними називають такі сили, напрямки яких проходять через нерухомий центр . З визначення центральної сили випливає, що момент центральної сили завжди буде таким, що дорівнює нулю ().

Закон збереження моменту імпульсу разом із законами збереження імпульсу й енергії є одним із найважливіших фундаментальних законів фізики.