§22 Швидкість довільної точки твердого тіла під час його плоского руху. Кутова швидкість обертання твердого тіла. Миттєва вісь обертання [4]

1. Плоским називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах. Довільний плоский рух можна подати як сукупність поступального й обертального руху. Розбити рух на поступальний і обертальний можна здійснити великою кількістю способів (на рис. 22.1 показані три з них), які відрізняються значеннями швидкості поступального руху, але мають одну і ту ж кутову швидкість . Тому можна говорити про кутову швидкість обертання твердого тіла, не вказуючи, через яку точку проходить вісь обертання.

Виберемо в тілі довільну точку . Як говорилось вище будь-який рух тіла можна розкласти на поступальний зі швидкістю , яка дорівнює швидкості точки , і обертальний навколо миттєвої осі, що проходить через цю точку. Позначаючи через  вектор кутової швидкості тіла, складову швидкості точок тіла, що обумовлена обертанням, можна подати у вигляді , де  – радіус-вектор, який проведено із точки  в дану точку тіла. Отже, для швидкості точок тіла відносно нерухомої системи відліку отримуємо формулу

            .           (22.1)

2. Швидкість поступального руху , як правило, залежить від вибору точки . Але кутова швидкість , як зазначалось вище, не залежить від положення точки , через яку проходить миттєва вісь обертання. Покажемо це на прикладі циліндра, що котиться без ковзання по площині (див. рис. 22.1).

Розглянемо рис. 22.1а. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки  зі швидкістю  й обертання навколо осі  з кутовою швидкістю . Зазначимо, що точка  є точкою дотику циліндра й площини. Через те, що ковзання відсутнє, то в точці дотику швидкості циліндра й площини повинні бути однаковими. Площина ж має швидкість, що дорівнює нулю. Отже, поступальна швидкість точки  дорівнює нулю . Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок  та

            ,  .        (22.2)

У цій формулі  є радіусом циліндра.

Розглянемо рис. 22.1б. В цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки  зі швидкістю  й обертання навколо осі  з кутовою швидкістю . Використовуючи формулу (22.1), знаходимо модулі швидкостей точок  та 

            ,  .        (22.3)

Розглянемо рис. 22.1в. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки  зі швидкістю  й обертання навколо осі  з кутовою швидкістю . Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок  та 

            ,  .        (22.4)

Коли підставити значення  та  з (22.2) у друге рівняння (22.3), то отримаємо, що

            .

Коли підставити значення  та  з (22.4) у перше рівняння (22.3), то отримаємо, що

            .

Таким чином,

            ,           (22.5)

тобто кутова швидкість  не залежить від положення точки, через яку проходить миттєва вісь обертання. Кутова швидкість характеризує обертання твердого тіла як цілого.

3. Зазначимо, особливо зручним виявляється представлення довільного плоского руху на поступальний, який відбувається зі швидкістю центра мас , і обертальний навколо осі, що проходить через цей центр  (рис. 22.1).

Також слід мати на увазі, що миттєва вісь обертання введена лише для опису розподілу миттєвих швидкостей тіла. Ця вісь може знаходитись як усередині, так і за межами тіла. Положення миттєвої осі відносно нерухомої системи відліку й відносно тіла в загальному випадку з часом змінюється. При цьому швидкість миттєвої осі і точки, через яку ця вісь проходить можуть і не співпадати. Так у випадку, що зображено на рис. 22.1а, миттєва вісь збігається з лінією дотику циліндра із площиною (вісь ). Ця вісь переміщується як по площині (тобто відносно нерухомої системи відліку), так і по поверхні циліндра. Тим часом миттєва швидкість тіла у точці дотику дорівнює нулю. Плоский рух можна розглядати як ряд послідовних елементарних обертань навколо миттєвих осей.