§23 Рух центра мас твердого тіла. Прискорення центра мас твердого тіла [4]

1. Знайдемо центр мас твердого тіла. Для цього розіб’ємо тверде тіло на сукупність дуже малих частинок (елементарних мас), тобто подамо тверде тіло як систему матеріальних точок з незмінними відстанями між ними. Тому для твердого тіла справедливі всі результати, які були отримані для системи матеріальних точок. Зокрема, центр мас твердого тіла визначається радіус вектором

            ,           (23.1)

де  – -а мала маса;  – радіус-вектор, що визначає положення цієї маси;  – маса всього твердого тіла.

Вираз (23.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів  можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу (23.1) за умови, що всі  прямують до нуля:

            .

Ми знаємо, що така границя називається інтегралом. Таким чином,

            ,           (23.2)

де інтегрування виконується по всьому твердому тілу.

2. Вираз (23.2) залежить від розподілу маси по об'єму тіла. Цей розподіл можна охарактеризувати за допомогою величини, яка називається густиною. Тіло, властивості якого у всіх точках однакові, називається однорідним. Густиною однорідного тіла називають величину

            ,           (23.3)

де  – маса тіла, а  – його об'єм. Таким чином, густина однорідного тіла чисельно дорівнює масі одиниці об'єму тіла.

Для неоднорідного тіла формула (23.3) дає середню густину. Густина у деякій точці неоднорідного тіла визначається виразом

            ,           (23.4)

де  – маса, що знаходиться в об'ємі , який містить у собі точку . Граничний перехід у цьому виразі не можна розуміти так, що об'єм  стягується безпосередньо в точку. Зменшення  потрібно здійснювати доти, поки не почне проявлятися атомна структура речовини. Тому під  в (23.4) потрібно розуміти фізично нескінченно малий об'єм, тобто такий об'єм, що, з одного боку, досить малий для того, щоб макроскопічні (тобто властиві великий сукупності атомів) властивості речовини можна було вважати в його межах однаковими, а з іншого боку, досить великий для того, щоб не могла проявитися дискретність речовини.

Згідно (23.4) елементарна маса  дорівнює добутку густині тіла в даній точці на відповідний елементарний об'єм :

            .           (23.5)

Підставивши це значення  у вираз (23.2), отримуємо, що

            ,           (23.6)

де буква  під знаком інтеграла вказує на те, що інтегрування виконується по об'єму  тіла.

3. Тверде тіло можна подати як систему матеріальних точок. Тому для нього справедливе співвідношення, яке визначає прискорення центра мас системи матеріальних точок, відповідно до якого добуток маси системи (тобто маси тіла) на прискорення центра мас  дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на це тіло,

            .           (23.7)

Таким чином, центр мас твердого тіла рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла зовнішніх сил.