§24 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі [4]

1. Знайдемо рівняння, яке описує обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої осі . Для розв’язання цієї задачі будемо розглядати тверде тіло як систему матеріальних точок, також використаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання.

 

Рисунок 24.1 – Вісь обертання  й елементарна маса  лежать у площині рисунка. Швидкість  направлена за площину рисунка. Момент імпульсу  є перпендикулярним до векторів  і . Відстань  від осі обертання дорівнює

Розіб'ємо тіло (див. рис. 24.1), що обертається навколо нерухомої осі  з кутовою швидкістю , на елементарні маси , які можна вважати матеріальними точками. Відповідно до визначення момент імпульсу  ї елементарної маси відносно точки , що лежить на осі обертання, дорівнює

            .           (24.1)

Тут  – радіус-вектор, який визначає положення маси  відносно точки ,  – швидкість -ї елементарної маси. Проекція вектора  на вісь обертання  дорівнює його модулю , помноженому на косинус кута :  (див. рис. 24.1). Оскільки кут між векторами  й  прямий (див. рис. 24.1), то . Тоді

            ,           (24.2)

де  – відстань маси  від осі обертання (див. рис. 24.1). Як відомо . З урахуванням цього можемо записати

            .           (24.3)

Проекція повного моменту імпульсу тіла  дорівнює сумі проекцій :

            .           (24.4)

Отриманий вираз не залежить від розміщення на осі обертання точки , відносно якої визначається момент імпульсу тіла .

Величина

            ,           (24.5)

що дорівнює сумі добутків елементарних мас на квадрат їх відстаней до осі обертання, називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.

Скориставшись поняттям моменту інерції, подамо вираз (24.4) для моменту імпульсу відносно осі  у вигляді

            ,           (24.6)

де  – момент інерції твердого тіла відносно осі обертання .

Як відомо, для системи матеріальних точок є справедливим рівняння моментів відносно осі обертання

            .           (24.7)

Підставивши в це рівняння (24.6) і прийнявши до уваги, що , а  – проекція кутового прискорення на вісь  (ми припускаємо, що напрямки вектора  й осі  збігаються), прийдемо до рівняння

            .           (24.8)

Це рівняння називають рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Воно аналогічно рівнянню другого закону Ньютона . Роль маси тут відіграє момент інерції, роль лінійного прискорення – кутове прискорення й, нарешті, роль результуючої сили – сумарний момент зовнішніх сил.