§28 Робота тіла, що обертається навколо нерухомої осі [4]

1. Знайдемо роботу, яку виконують зовнішні сили під час обертання твердого тіла відносно нерухомої осі .

Позначимо зовнішню силу, що прикладена до елементарної маси , через . За час  робота сили  над  ю елементарною масою буде дорівнювати

            .           (28.1)

Відомо, що швидкість  ї елементарної маси тіла, яке обертається навколо нерухомої осі визначається співвідношенням , де  – радіус-вектор, що проведений від довільної точки  на осі обертання до точки з масою . Тоді (28.1) набуває вигляду

            .           (28.2)

Далі використаємо відоме з математики співвідношення для змішаного добутку векторів  і отримаємо

.           (28.3)

У цій формулі  – момент сили  відносно точки ,  – проекція вектора  на напрямок вектора ,  – кут на який повернеться тіло за час . Результуючу роботу знайдемо як суму робіт над кожною елементарною масою

            .          

Позначаючи через  – проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості знаходимо шукану елементарну роботу, яку виконують зовнішні сили при обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі

            .           (28.4)

Зазначимо, що формула (28.4) подібна до формули .

2. Розділивши роботу (28.4) на час , за яке тіло повернулося на кут , отримуємо потужність, яка розвивається зовнішніми силами:

            .           (28.5)

Знак потужності залежить від знаку проекції  проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості . Коли проекція  від’ємна, то потужність  також від’ємна. Зазначимо, формула (28.5) подібна до формули .