§30 Рівняння руху і рівноваги твердого тіла. Прискорення циліндра, який котиться без ковзання з похилої площини [1,7]

1. Для того щоб знайти швидкість  довільної точки твердого тіла, яка визначається радіусом-вектором , потрібно знати вектор швидкості  поступального руху деякої точки твердого тіла  та вектор кутової швидкості  відносно миттєвої осі обертання, яка проходить через цю точку: . Тобто для визначення стану твердого тіла потрібно знати 6 скалярних величин. Це означає, щоб визначити стан твердого тіла в будь який момент часу потрібно шість незалежних числових рівнянь. Замість них можна взяти два незалежних векторних рівняння. Такими є рівняння руху центра мас

                        (30.1)

й рівняння моментів

            .           (30.2)

Рівняння (30.1) та (30.2) є рівняннями руху твердого тіла, які визначають стан твердого тіла в будь-який момент часу.

Рівняння моментів (30.2) можна брати відносно довільної нерухомої точки або відносно центра мас твердого тіла. Можна також це рівняння брати відносно довільної точки, для якої швидкість в будь-який момент часу є паралельною швидкості центра мас.

У рівняння (30.1) і (30.2) входять тільки зовнішні сили. Внутрішні сили не впливають на рух центра мас і не можуть змінити момент імпульсу тіла. Вони можуть змінювати тільки взаємне розміщення й швидкості матеріальних точок тіла. Але для абсолютно твердого тіла такі зміни неможливі. Таким чином, внутрішні сили не впливають на рух твердого тіла.

2. Якщо тверде тіло знаходиться у спокої, то рівняння (30.1) і (30.2) переходять в

            ,   .       (30.3)

Співвідношення (30.3) є умовами рівноваги твердого тіла. При їх виконанні центр мас може рухатися прямолінійно й рівномірно з довільною швидкістю, а саме тіло може обертатися з постійною кутовою швидкість.

Коли тверде тіло знаходиться у рівноважному стані, то результуюча зовнішніх сил дорівнює нулю. Звідси випливає, що момент цих сил у стані рівноваги не залежить від положення точки , відносно якої він шукається. Тому при розв’язанні будь-якої задачі на рівновагу твердого тіла точку  можна вибирати довільно. Це можна використовувати для спрощення самого розв’язку.

 

3. Як приклад застосування рівнянь руху твердого тіла розглянемо задачу про знаходження прискорення центру мас  циліндру радіуса , що котиться без ковзання по похилій площині, кут нахилу якої дорівнює  (див. рис. 30.1).

За умовою циліндр рухається без ковзання. Це означає, що швидкість тіла в точці дотику  дорівнює нулю. Відсутність ковзання забезпечується дією сил з боку похилої площини на циліндр: нормальної складової сили реакції опори  та сили тертя спокою . Модуль сили тертя спокою  може набувати будь-якого значення: від 0 до , де  – коефіцієнт тертя. При скочуванні сила тертя спокою встановлюється саме такою, щоб не було ковзання. Якщо дотична сила, яка потрібна для цього, перевищує , то чисте скочування неможливо – воно буде супроводжуватися ковзанням.

Для знаходження прискорення центра мас  використаємо рівняння руху (30.1)

                        (30.4)

та рівняння моментів (30.2) відносно осі, що проходить через центр мас 

            .           (30.5)

Рівняння (30.4) спроектуємо на вісь  (див. рис. 30.1) і отримаємо

            .           (30.6)

Тут використали, що проекція сили тяжіння на вісь  дорівнює . Далі рівняння (30.5) спроектуємо на вісь обертання і знайдемо

            .           (30.7)

У цьому рівнянні використали, що, згідно до визначення моменту сили, , а  й , тому що плече цих сил дорівнює нулю.

Позначимо через  лінійну швидкість точки . Вона пов’язана зі швидкість точки  (через яку проходить вісь обертання) співвідношенням . За умови відсутності ковзання , тому . Звідси для лінійного прискорення точки  знаходимо

            .           (30.8)

Далі розв’язуємо систему рівнянь (30.6) – (30.8) відносно  і отримуємо

            .           (30.9)

Якщо врахувати, що момент інерції циліндра відносно осі обертання дорівнює , то (30.9) для шуканого прискорення циліндра набире вигляду

            .           (30.10)