§31 Неінерціальні системи відліку. Сили інерції. Поступальна сила інерції [7]

1. До цього часу ми розглядали рух відносно інерціальних систем відліку. У таких системах рівнянням руху матеріальної точки є рівняння, що виражає другий закон Ньютона:

             або .   (31.1)

Поставимо тепер перед собою задачу знайти рівняння руху в неінерціальних системах відліку, тобто таких системах, які рухаються прискорено відносно інерціальних систем. Нагадаємо, під рівнянням руху ми розуміємо співвідношення, яким визначається прискорення матеріальної точки механічної системи в тій системі відліку, відносно якої розглядається рух.

 

 

Через те, що нам відоме рівняння руху відносно інерціальних систем відліку (рівняння другого закону Ньютона), то задача зводиться до встановлення законів перетворення сил та прискорень при переході від інерціальної системи відліку до неінерціальної. При розв’язанні задачі обмежимося нерелятивістським випадком.

2. Виберемо довільну інерціальну систему відліку  з початком координат у точці  (див. рис. 31.1). Будемо називати її нерухомою. Візьмемо також неінерціальну систему відліку  з початком координат у точці , яка рухається відносно нерухомої системи . Неінерціальну систему відліку  будемо називати рухомою. Отримаємо рівняння руху частинки у неінерціальній системі відліку  за відомим рівнянням руху у системі  (31.1).

Нехай  – деяка матеріальна точка з масою . Її розміщення у нерухомій системі відліку визначається радіусом-вектором

            ,

а в рухомій системі – радіусом-вектором

            .

Позначимо через  радіус-вектор , який проведений з нерухомого початку  системи  до початку  рухомої системи . Зрозуміло (див. рис. 31.1), що вектори ,  та  у кожний момент часу пов'язані співвідношенням

            .           (31.2)

Двічі диференціюючи ці співвідношення за часом, отримаємо

            ,           (31.3)

            .           (31.4)

Далі розглянемо частинний випадок, коли система  рухається поступально з прискоренням . Це означає, по-перше, що прискорення початку  системи  дорівнює  (). По-друге, орти системи  не змінюють свій напрямок з часом відносно системи , тобто є сталими величинами як за напрямком так і за модулем (у випадку, коли б система  здійснювала обертальний рух, то напрямки ортів у системі  з часом змінювалися). Це означає, що у випадку поступального руху системи  величина  має вигляд

                        (31.5)

завдяки тому, що , ,  є у даному випадку є сталими величинами. Зрозуміло, що формула (31.5) є не що інше, як прискорення матеріальної точки  в системі . Тобто .

Далі підставимо в (31.4) , , а потім отриманий вираз підставимо в (31.1) і знайдемо

            ,           (31.6)

де

                        (31.7)

є поступальною силою інерції.

Рівняння (31.6) і є шуканим рівнянням руху в неінерціальній системі відліку за умови, коли неінерціальна система відліку  рухається відносно інерціальної поступально з прискоренням .

3. Розглянемо праву частину рівності (31.6). Її формально можна розглядати як результуючу двох сил. Перша сила  є «справжньою» силою у тому розумінні, що вона є результатом взаємодії тіл. Вона залежить тільки від різниць координат і різниць швидкостей матеріальних точок, які взаємодіють. У нерелятивістській механіці всі ці різниці не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої, яка рухається поступально. Тому не змінюється й сила . Вона інваріантна відносно такого переходу.

Зовсім інший характер має складова . Ця сила виникає не через взаємодію тіл, а через прискорений рух системи відліку. При переході до іншої прискореної системи відліку змінюється й сила інерції. Ця сила не є інваріантною відносно такого переходу. Цим сили інерції відрізняються від «справжніх сил», що виникають при взаємодії тіл. Друга відмінність полягає в тому, що сили інерції не підкоряються третьому закону Ньютона. Якщо на деяке тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до іншого тіла. Сили інерції завжди є зовнішніми відносно будь-якої системи тіл.

Таким чином, використання інерціальних сил поряд із «справжніми» силами дозволяє описувати рух у довільних неінерціальних системах відліку за допомогою рівнянь, подібних до рівнянь другого закону Ньютона. У цьому полягає зміст введення інерціальних сил.

Дію сили інерції на собі відчуває кожний, хто користується міським транспортом. Так, при різкому гальмуванні автобуса або трамвая пасажири відчувають силу (поступальну силу інерції), що штовхає їх уперед.