§34 Методи Лагранжа та Ейлера для опису течії рідини. Трубка течії [4,14]

1. Для опису руху рідин і газів їх поділяють (аналогічно методиці вивчення твердих тіл) на окремі елементи (частинки рідини) так, щоб кожний з них можна було вважати матеріальною точкою і застосувати до неї загальні закони механіки. Про рух рідин і газів в цілому можна скласти уявлення, якщо простежити за рухом кожної їх частинки окремо. Такий метод вивчення руху рідин і газів, запропонований Лагранжем, зводиться до знаходження траєкторії кожного елемента рідини (газу) і його швидкості як функції часу і називається методом Лагранжа.

Інший метод вивчення руху рідин і газів запропонував Ейлер. За цим методом (метод Ейлера) замість дослідження руху кожного елемента рідини або газу, зокрема, визначають швидкість у кожній точці потоку в різний час; ця швидкість відноситься не до певної частинки, а до будь-якої частинки, що проходить через дану точку простору. Зрозуміло, що коли буде знайдено розподіл швидкостей у потоці й характер зміни його в часі, то потік рідини або газу стане цілком визначеним. Інакше кажучи, за методом Ейлера потік рідини або газу задається полем векторів швидкості .

 

 

2. Сукупність векторів , заданих для всіх точок простору, називається полем вектора швидкості. Це поле можна наочно зобразити за допомогою ліній течії (рис. 34.1). Лінію течії можна провести через будь-яку точку простору. Якщо побудувати всі уявні лінії течії, вони зіллються. Тому для наочного уявлення течії рідини будують лише частину ліній, вибираючи їх так, щоб густина ліній течії чисельно дорівнювала модулю швидкості в даному місці. Тоді за картиною ліній течії можна судити не тільки про напрямок, але й про модуль вектора  у різних точках простору. Наприклад, у точці  на рис. 34.1 густина ліній, а отже, й модуль швидкості  є більшими, ніж у точці . Оскільки різні частинки рідини можуть проходити через дану точку простору з різними швидкостями, то картина ліній течії, в загальному випадку, увесь час змінюється. Якщо швидкість, у кожній точці простору залишається постійною, то такий потік рідини називається стаціонарним. У стаціонарному потоці будь-яка частинка рідини проходить через дану точку простору з однієї й тією же швидкістю . Картина ліній стаціонарного потоку залишається незмінною, і лінії течії в цьому випадку збігаються із траєкторіями частинок.

3. Якщо через всі точки невеликого замкненого контура провести лінії течії, утвориться поверхня, яку називають трубкою течії. Вектор  буде дотичним до поверхні трубки течії у кожній її точці. Це означає, що частинки рідини при своєму русі не перетинають стінок трубки течії.