§39 Рух тіл у рідинах та газах. Сила лобового опору. Піднімальна сила. Парадокс Д’Аламбера. Вплив в’язкості на характер обтікання тіла рідиною. Сила Стокса [4]

1. Вплив рідкого або газоподібного середовища на тіло, яке рухається в ньому з постійною швидкістю , буде таким самим, як і була б дія на нерухоме тіло з боку набігаючої на нього зі швидкістю  однорідного потоку рідини або газу (надалі для стислості ми будемо говорити тільки про рідину, маючи на увазі при цьому й гази). Отже, при з'ясуванні сил, що діють на тіло, байдуже, що вважати рухомим – тіло або середовище. Зручно припускати тіло нерухомим, а середовище рухомим.

Силу , з якої потік діє на тіло, можна розкласти на дві складові: силу , яка направлена уздовж швидкості  незбуреного потоку, і яку називають лобовим опором, й силу , яка перпендикулярна до , і яку називають піднімальною силою. Лобовий опір складається із сил тиску й сил внутрішнього тертя. Очевидно, що на тіло, яке симетричне відносно напрямку швидкості потоку , може діяти тільки лобовий опір, піднімальна ж сила в цьому разі буде відсутня.

 

 

2. Можна довести, що в ідеальній рідині, яка нестискується, рівномірний рух тіла довільної форми повинен відбуватися без лобового опору. Цей результат отримав назву парадокса Д’Аламбера.

Покажемо відсутність лобового опору на прикладі обтікання ідеальною рідиною дуже довгого («нескінченного») циліндра (рис. 39.1). Не маючи в'язкості, ідеальна рідина повинна ковзати по поверхні циліндра, повністю обтікаючи його. Тому лінії течії будуть симетричними як відносно прямої, що проходить через точки 1 і 3, так і відносно прямої, що проходить через точки 2 і 4. Теорема Бернуллі дозволяє за картиною ліній течії судити про тиск у різних точках потоку. Поблизу точок 1 і 3 тиск однаковий (і більший, ніж у незбуреному потоці, тому що швидкість поблизу цих точок менша). Поблизу точок 2 і 4 тиск також однаковий (і менший, ніж у незбуреному потоці, тому що швидкість поблизу цих точок більша). Отже, результуюча сила тиску на поверхню циліндра (яка під час відсутності в'язкості могла б обумовити лобовий опір) буде дорівнювати нулю. Як ми вже відзначали, такий же самий результат виходить і для тіл довільної (у тому числі й несиметричної) форми. Цей висновок стосується тільки лобового опору. Піднімальна сила, дорівнює нулю для симетричних тіл (див. рис. 39.1), для несиметричних тіл вона відмінна від нуля.

 

 

На рис. 39.2 показані лінії течії при обтіканні ідеальною рідиною напівциліндра. Внаслідок повного обтікання лінії течії симетричні відносно прямої, що проходить через точки 2 і 4. Однак відносної прямої, що проходить через точки 1 і 3, картина ліній течії несиметрична. Поблизу точки 2, де лінії густіші, тиск менший, ніж поблизу точки 4, у результаті чого виникає піднімальна сила.

3. Інакше відбувається рух тіла у в’язкій рідині. У цьому випадку дуже тонкий шар рідини прилипає до поверхні тіла й рухається з ним як одне ціле, захоплюючи за собою через внутрішнє тертя наступні шари. У міру видалення від поверхні тіла швидкість шарів стає усе менше й, нарешті, на деякій відстані від поверхні рідина буде не збурена рухом тіла. Таким чином, тіло виявляється оточеним шаром рідини зі швидкістю, яка змінюється всередині цього шару досить швидко. Цей шар називається пограничним. У ньому діють сили в’язкого тертя, які в остаточному підсумку прикладені до тіла й приводять до виникнення лобового опору.

 

 

Але вплив в'язкості не вичерпується виникненням сил тертя. Наявність пограничного шару в повністю змінює характер обтікання тіла рідиною.

Повне обтікання стає неможливим. Дія сил тертя в пограничному шарі приводить до того, що потік відривається від поверхні тіла, у результаті чого за тілом виникають вихри (рис. 39.3). Вихри несуться потоком і поступово загасають внаслідок тертя; при цьому енергія вихрів витрачається на нагрівання рідини. Тиск, що утвориться за тілом, у вихровій області виявляється зниженим, внаслідок чого результуюча сил тиску буде відмінна від нуля. Це у свою чергу обумовлює лобовий опір.

Таким чином, як ми вже відзначали, лобовий опір складається з опору тертя й опору тиску. Опір тиску сильно залежить від форми тіла. Найменший опір тиску мають тіла з краплеподібною формою (рис. 39.4).

 

 

Співвідношення між опором тертя й опором тиску визначається значенням числа Рейнольдса

            .

Тут  – швидкість тіла відносно рідини (або швидкість потоку, що набігає на тіло);  – характерний розмір тіла, наприклад радіус для тіла кульової форми. При малих  (тобто при малих  і ) основну роль відіграє опір тертя, так що опором тиску можна знехтувати. З ростом в'язкості відносна роль сил тертя зростає. При великих значеннях  у лобовому опорі переважають сили тиску.

4. Стокс установив, що при невеликих швидкостях і розмірах тіл (тобто при малих , коли опір середовища обумовлений практично тільки силами тертя) модуль сили опору визначається формулою

            ,           (39.1)

де  – динамічна в'язкість середовища;  – швидкість руху тіла;  – характерний розмір тіла;  – коефіцієнт пропорційності, який залежить від форми тіла. Силу, що визначається (39.1), називають силою Стокса.

Для кулі, якщо взяти за  його радіус , коефіцієнт пропорційності дорівнює . Отже, сила опору руху в рідинах невеликих кульок при малих швидкостях дорівнює

            .           (39.2)

Силу, що визначається формулою (39.2), теж називають силою Стокса. Треба мати на увазі, що формула Стокса справедлива за умови, що відстань від тіла до границь рідини (наприклад, до стінок посудини) набагато більша розмірів тіла.

 

 

 

5. Літак підтримується в повітрі піднімальною силою, що діє на його крила. Лобовий опір відіграє при польоті літака шкідливу роль. Тому крилам і фюзеляжу літака надають форму, завдяки якій газ його добре обтікає (рис. 39.5). Внаслідок асиметричної форми й нахиленого розміщення крила швидкість повітря над крилом виявляється більше (а, отже, тиск менше, як це випливає з рівняння Бернуллі), ніж під крилом. Завдяки цьому створюється піднімальна сила. Істотну роль в утворенні піднімальної сили відіграє в'язкість повітря, завдяки чому утворюються вихрі, які відриваються від заднього краю крила. Детально розглянути явища, що обумовлюють піднімальну силу, тут ми, на жаль, не маємо можливості. Основи теорії крила літака створив у 1904 р. Жуковський, який сформулював теорему про піднімальну силу й довів формулу для визначення цієї сили, яка є основою всіх аеродинамічних розрахунків літаків.