§40 Принцип відносності Галілея. Перетворення Галілея [4]

 

 

1. Порівняємо опис руху частинки в інерціальних системах відліку  й , які рухаються одна відносно іншої зі швидкістю  (рис. 40.1). Для спрощення математичних перетворень виберемо осі координат так, як показано на рисунку. Тут осі  й  збігаються, осі  й , а також  і  паралельні одна одній. Відлік часу почнемо з того моменту, коли початок координат  і  збігалися. Тоді координати  й  довільно взятої точки  будуть пов’язані співвідношенням . При обраному виборі осей  і . У ньютонівській механіці передбачається, що час у всіх системах відліку тече однаково: тому . Таким чином, отримуємо чотири рівняння

            , , , ,     (40.1)

які називають перетвореннями Галілея. Ці рівняння дозволяють перейти від координат і часу однієї інерціальної системи відліку до координат і часу іншої інерціальної системи.

2. Продиференціюємо перше з рівнянь (40.1) за часом, взявши до уваги, що  й, отже, похідна за  збігається з похідною за :

           

Похідна  є проекцією швидкості частинки  в системі  на вісь  цієї системи; похідна  є проекцією швидкості частинки  в системі  на вісь  цієї системи. Отже,

                        (40.2)

де  (проекція вектора на вісь  збігається із проекцією того ж вектора на вісь ).

Диференціювання другого й третього з рівнянь (40.1) приводить до такого результату

             тобто ;

             тобто .           (40.3)

Сукупність рівнянь (40.2) і (40.3) можна подати одним векторним рівнянням

            .           (40.4)

Це рівняння можна розглядати або як формулу перетворення швидкості частинки від системи  до системи  або як закон додавання швидкостей в ньютонівській механіці: швидкість частинки відносно системи  дорівнює сумі швидкості частинки відносно системи  й швидкості системи  відносно системи .

3. Диференціювання за часом рівняння (40.4) приводить до рівності

                        (40.5)

( , тому ). Таким чином, прискорення частинки відносно систем  і  однакові. Сила , що діє на частинку в системі , збігається з силою , що діє на частинку в системі :

            .           (40.6)

Це випливає з того, що сила залежить від відстаней між даною частинкою й частинками, що взаємодіють з нею (і може бути від відносних швидкостей частинок). А ці відносні відстані (й відносні швидкості) в ньютонівській механіці вважаються однаковими у всіх інерціальних системах відліку. Маса також має однакове числове значення у всіх системах відліку.

Зі сказаного випливає, що якщо в системі  виконується рівність

            ,

то в системі  буде виконуватися рівність

            .

Системи  й  були взяті зовсім довільно. Тому отриманий результат означає, що закони механіки однаково формулюються для всіх інерціальних систем відліку. Це твердження називається принципом відносності Галілея.

4. Галілей перший звернув увагу на те, що ніякими механічними дослідами, виконаними в межах даної інерціальної системи відліку, неможливо встановити, чи перебуває вона в стані спокою або в стані рівномірного прямолінійного руху. Він писав, що в закритій каюті корабля, який рівномірно рухається, мухи летять із однаковою швидкістю в усіх напрямках; відстань, на яке ви стрибнете, не залежить від напрямку стрибка; краплі з отвору в дні підвішеного відерця будуть падати так само, як вони падали, коли корабель був нерухомим. Імовірно, кожному доводилося, розглядаючи з вікна вагона поїзд, який стоїть на сусідньому шляху, відчути, начебто вагон, у якому ви перебуваєте, почав рухатися, у той час як насправді рушав з місця сусідній поїзд. Усі перелічені процеси є проявом принципу відносності.

Інваріантними величинами називають величини, які мають одне й те саме числове значення у всіх системах відліку (латинське слово invariantis означає «незмінний»). Прикладами таких величин можуть служити маса, електричний заряд та ін.

Інваріантними рівняннями відносно перетворення координат і часу при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої називаються рівняння, вигляд яких не змінюється при такому переході. Самі величини, що входять у рівняння, можуть при переході до іншої системи відліку змінюватись, однак формули, що виражають зв'язок між величинами, залишаються незмінними. Як приклад можна навести рівняння теореми про кінетичну енергію

           

(збільшення кінетичної енергії тіла дорівнює виконаній над ним роботі). Ця рівність є справедливою у всіх інерціальних системах відліку, у той час як значення  й  у різних системах різні.

Користуючись поняттям інваріантності, принцип відносності Галілея можна сформулювати таким чином: рівняння механіки інваріантні відносно перетворень Галілея.