§43 Перетворення швидкостей у спеціальній теорії відносності [4]

 

 

1. Знайдемо зв’язок між швидкістю частинки , що виміряна в системі відліку , та швидкістю тієї самої частинки , що виміряна в системі відліку . Вважаємо, що система  рухається зі швидкістю  відносно нерухомої системи  (див. рис. 43.1).

Компоненти швидкості  частинки в системі  визначаються виразами

            , , .       (43.1)

У системі  компоненти швидкості  тієї ж частинки дорівнюють

            , , .       (43.2)

Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані компоненти швидкості зі штрихованими. Для цього скористуємося перетвореннями Лоренца. Із цих формул отримуємо, що

            .           (43.3)

Розділивши перше із цих рівностей на четверте, прийдемо до співвідношення

            ,

яке з урахуванням (43.1)  і (43.2)  можна подати у вигляді

            .           (43.4)

Розділивши друге й третє з рівностей (43.3) на четверте, отримаємо ще два співвідношення:

            .           (43.5)

Формули (43.4) та (43.5) і розв’язують поставлене завдання. Вони отримали назву формули перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

За формулами (43.4) і (43.5) здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи  до системи . Використавши аналогічно як і вище перетворення Лоренца, легко одержати формули

            ,   ,       (43.6)

за якими здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи  до системи . Формули (43.6) відрізняються від формул (43.4) і (43.5), як і слід було сподіватися, тільки знаком перед . Формули (43.6) також називаються формулами перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

2. Проведемо дослідження формул додавання швидкостей в СТВ у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли . У цій ситуації вираз  і ним можна в формулах (43.4)–(43.6) знехтувати. У результаті отримуємо, наприклад, з (43.4) та (43.5)

              ,  

формули додавання швидкостей, за допомогою яких перетворюються швидкості в ньютонівській механіці. Таким чином, коли  формули додавання швидкостей у СТВ переходять у формули додавання швидкостей ньютонівської механіки.

Розглянемо випадок, коли частинка рухається паралельно осям  і  в напрямку швидкості  (див. рис. 42.1). Тоді  збігається з модулем швидкості частинки  в системі , a  – з модулем швидкості  в системі , і формула (43.4) має вигляд

            .           (43.7)

Швидкості ,  і  паралельні й направлені в одну й ту саму сторону. Отже, формула (43.7) виражає закон додавання швидкостей. Якщо , то

            .           (43.8)

Таким чином, формула додавання швидкостей узгоджується с другим постулатом СТВ.