§46 Інтервал і його інваріантність. Швидкість світла як гранична швидкість поширення довільного сигналу [4]

1. Нехай у точці  в момент часу  відбулася подія 1, а у точці  в момент часу  – подія 2. Вираз

                        (46.1)

називають інтервалом між подіями 1 та 2. Основною особливістю інтервалу є те, що його величина є інваріантною, тобто він набуває одне і те ж значення у всіх інерціальних системах відліку.

2. Доведемо інваріантність інтервалу. Знайдемо інтервал в системі , що рухається зі швидкістю  відносно нерухомої системи , і в системі  й порівняємо їх значення. Для вирішення цієї задачі використаємо перетворення Лоренца

            ,           (46.2)

            .           (46.3)

Підставимо (46.2), (46.3) в (46.1) і отримаємо

           

            .

Таким чином, , тобто інтервал має однакові значення в системі відліку  та в системі відліку . Значить інтервал є інваріантною величиною.

3. Розглянемо визначення інтервалу (46.1). Зазначимо, що інтервал може бути дійсною величиною, або уявною величиною. Внаслідок інваріантності інтервал буде дійсним або уявним, або рівним нулю у всіх інерціальних системах відліку.

Для дійсного інтервалу

            .           (46.4)

Звідси випливає, що існує така система , в якій . Тобто події, які характеризуються дійсним інтервалом, можуть відбуватися в системі  в одній і тій же точці простору. При цьому не існує системи, у якій  (при такому значенні  інтервал став би уявним). Таким чином, події, які розділені дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть бути одночасними. Відповідно до цього дійсні інтервали називаються часоподібними.

Для уявного інтервалу

            .           (46.5)

Отже, існує така система , в якій , тобто події стають одночасними. Однак не існує системи, у якій  (при такому значенні  інтервал став би дійсним). Таким чином, події, які визначаються дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть відбуватися в одній і тій же точці простору. Відповідно до цього уявні інтервали називають простороподібними.

4. Нехай подія 1 буде причиною, а подія 2 – наслідком. Тобто події 1 і 2 пов’язані між собою причинно-наслідковим зв’язком. Про ці події також говорять як про поширення сигналу. З’ясуємо, який інтервал відповідає цим причинно-наслідковим подіям.

Через те, що в довільній системі відліку час наслідку  не повинен бути більшим за час причини , тобто  , то це означає інтервал, який описує ці події повинен бути або дійсним (часоподібним), або дорівнювати нулю

            .

Звідси випливає для причинно-наслідкових подій (процесу поширення сигналу) має місце

             або .   (46.6)

Таким чином, події, що пов’язані причинно-наслідковим зв’язком, або процес поширення сигналу описуються часоподідним інтервалом або інтервалом, який дорівнює нулю. З (46.6) також виплаває, що максимальна швидкість сигналу будь-якої природи  не може перевищувати швидкість світла . Випадку, коли сигнал поширюється зі швидкістю світла, відповідає інтервал, який дорівнює нулю.