§48 Кінетична енергія в спеціальній теорії відносності [4]

1. Знайдемо вираз для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності. Будемо виходити з того, що в спеціальній теорії відносності виконується теорема про кінетичну енергію. Також використаємо релятивістське рівняння динаміки.

Відповідно до теореми про кінетичну енергію, робота, яка виконана над тілом, дорівнює збільшенню його кінетичної енергії:

            .           (48.1)

Елементарну роботу знайдемо, використовуючи її визначення та релятивістське рівняння динаміки:

            .

Тут використали визначення швидкості . Далі підставляємо отриманий вираз у (48.1)

           

Перетворимо цей вираз, користуючись правилом диференціювання добутку функцій:

            .

Приведемо отриманий вираз до загального знаменника й врахуємо, що , . У результаті отримаємо

           

Легко перевірити диференціюванням, що

           

Отже,

           

Функції, диференціали яких рівні один одному, можуть відрізнятися тільки на постійну величину. Тому

                        (48.2)

Кінетична енергія частинки, як відомо з ньютонівської механіки, стає рівною нулю, коли швидкість частинки дорівнює нулю . Використовуємо цю умову в (48.2) і знаходимо невідому константу

            .

Підставляємо значення константи в (48.2) і отримуємо шукану формулу для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності

            .           (48.3)

2. Проаналізуємо отриманий вираз у нерелятивістському випадку, тобто коли . Для цього виконаємо такі перетворення

           

           

            .

Таким чином, формула для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності за умови, коли швидкість набагато менша за швидкість світла, переходить у вираз для кінетичної енергії ньютонівської механіки: . Це узгоджується з тим, що при швидкостях набагато менших за швидкість світла формули релятивістської механіки повинні переходити у відповідні формули ньютонівської механіки.