§56 Тиск ідеального газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії [8]

1. Тиск газу на стінку посудини є результатом ударів молекул газу об цю стінку. При кожному ударі молекула газу діє на стінку з певною малою силою. Коли кількість молекул у посудині дуже велике, то буде великим й число їх ударів об стінку посудини. Одночасно об стінку посудини вдаряється величезна кількість молекул. Нескінченно малі сили окремих ударів складаються в кінцеву й майже постійну силу, яка діє на стінку. Ця сила, усереднена за часом, і є тиск газу, з яким має справу макроскопічна фізика.

2. Обчислимо тиск газу на стінку посудини. Нехай газ поміщено у закриту посудину й всі молекули однакові. Ці молекули рухаються з різними швидкостями, які відрізняються одна від одної як за величиною, так і за напрямком. Розділимо всі молекули на групи так, щоб молекули однієї й тієї ж групи в розглянутий момент часу мали приблизно однакові за величиною й за напрямком швидкості. Швидкість молекул  ї групи позначимо через , а число таких молекул в одиниці об'єму – через . Розглянемо на стінці посудини малу площу  (рис. 56.1). Якщо молекули рухаються в напрямку до площі , то вони можуть зіштовхнутися з нею. Якщо ж вони рухаються від площадки, то зіткнень не буде. Припустимо, що молекули  ї групи рухаються в напрямку до площі , і обчислимо число  молекул такої групи, що вдаряються об цю площу за малий час . Побудуємо на площі , як на основі, косий циліндр із твірними , який розміщений усередині посудини. Всяка молекула  ї групи, що знаходиться у цьому циліндрі, за час  встигне досягти площі  й вдаритися об неї. Тому число ударів  буде дорівнювати числу молекул  ї групи усередині побудованого циліндра, тобто , де  – об'єм циліндра. Направимо координатну вісь  уздовж зовнішньої нормалі до площі . Тоді висота циліндра буде дорівнювати , а його об'єм . Отже,

            .

Подальший хід обчислень залежить від характеру взаємодії молекул, що вдаряються, зі стінкою. Звичайно при обчисленнях вважають, що стінка гладка, а молекули при ударі відбиваються від її дзеркально, тобто за законами удару ідеально пружних куль: абсолютна величина швидкості при відбитті не змінюється, кут падіння дорівнює куту відбиття. Потім доводять, що ці припущення не є істотними. Однак у дійсності стінка посудини для молекули, що вдаряється, не може бути ідеальним дзеркалом – адже вона сама складається з молекул. Завдяки цьому молекули  ї групи після відбиття будуть мати, взагалі кажучи, найрізноманітніші за величиною й напрямком швидкості, спрямовані від стінки, і розподіляться за різними швидкісними групами. Тому ми проведемо подальші обчислення, не вводячи ніяких спеціальних припущень відносно законів відбиття молекул від стінки посудини. Єдине припущення, що буде використано в обчисленнях, полягає в тому, що при відбитті від стінки молекула в середньому не втрачає й не отримує кінетичну енергію. Надалі буде показано, що це припущення означає, що температура газу дорівнює температурі стінки. Для спрощення обчислення процес взаємодії молекули зі стінкою зручно уявно розбити на два етапи. На першому етапі молекула вповільнюється й зупиняється, як би прилипаючи до стінки. На другому етапі молекула відштовхується стінкою, прискорюється й відскакує від неї. Обчислимо спочатку силу , що діяла б на площу  з боку газу, якби весь процес взаємодії молекул газу зі стінкою обмежувався тільки першим етапом, тобто у припущенні, що після ударів молекули газу як би прилипають до стінки. Молекули  ї групи, що вдарилися об площу  за час , до удару мали імпульс , де  – імпульс однієї молекули. Щоб зупинити ці молекули, стінка повинна діяти на них із силою , яка дорівнює  . Використавши 3 й закон Ньютона, знайдемо силу , з якої діють на площу  молекули  ї групи на першому етапі. Сила , що діє на цю площадку з боку всього газу, буде знайдена підсумовуванням цих виразів за усіма групами молекул, що летять у напрямку до стінки (для них ), тобто

            .

До сили  потрібно додати силу , що діє на площу  на другому етапі. Сила  знаходиться аналогічно. Вона створюється молекулами, що летять від площадки , тобто молекули, для яких ,

            .

Поділ взаємодії на два етапи є тільки штучним обчислювальним прийомом. Насправді сили  і  діють одночасно й складаються в одну результуючу силу

            .

Тут підсумовування виконується вже за всіма групами молекул, що летять як до стінки, так і від її.

Сила  направлена нормально до площадки . Це є наслідком хаотичності теплового руху молекул. Дійсно, складова сили  у напрямку осі  дорівнює

            .

Через хаотичність теплового руху серед доданків, що входять до суми, зустрінеться приблизно стільки ж додатних членів, скільки й від’ємних. У середньому додатні доданки будуть скомпенсовані від’ємними, так що сума буде дорівнювати нулю. Те ж саме є справедливим й для складової . Цього не буде тільки для нормальної складової

            ,

всі члени якої додатні, тому що знаки проекцій  і  завжди однакові. Розділивши складову  на площу , отримаємо тиск газу на стінку посудини:

            .

Цей вираз можна спростити, якщо ввести середнє значення . Сума квадратів проекцій  для молекул газу, що знаходяться в одиниці об'єму, дорівнює . Щоб знайти середнє, треба цю суму розділити на загальне число молекул  в одиниці об'єму. Це дає

                        (56.1)

(кутові дужки означають усереднення за сукупністю всіх молекул). Тиск  тепер можна подати у вигляді

            .           (56.2)

За визначенням скалярного добутку

            .

Усереднюючи це співвідношення, отримаємо

            .

При хаотичному русі, яким є тепловий рух молекул газу, всі напрямки швидкостей молекул рівноймовірні, тому

            .           (56.3)

Це дає

            .           (56.4)

При доведенні цих формул молекули розглядалися як безструктурні матеріальні точки. Не приймалося в увагу обертання молекул, а також внутрішньомолекулярний рух. При зіткненні можуть мінятися швидкості обертання молекул. Молекула може перейти в збуджений стан або зі збудженого стану повернутися в нормальний. Але всі ці процеси не відіграють ролі, коли мова йде про обчислення тиску газу. Істотною є тільки зміна поступального імпульсу молекули при зіткненнях її зі стінкою. Воно дорівнює масі молекули, помноженої на зміну швидкості її центра мас. Тому формула (56.4) залишається вірною і у випадку, коли молекула не є безструктурною матеріальною точкою. Тут тільки треба розуміти під  швидкість поступального руху молекули (точніше, її центра мас). Тоді формулі (56.4) можна надати вигляд

            ,           (56.5)

де  – середнє значення кінетичної енергії поступального руху молекули газу.

Формули (56.4) і (56.5) розв’язують поставлене завдання цього параграфа про знаходження тиску газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії.