§58 Ступені вільності механічної системи. Теорема про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Середня енергія молекули [4]

1. Двох- і багатоатомні молекули, крім поступального, можуть виконувати також обертальні й коливальні рухи. Усі ці види руху пов'язані з деяким запасом енергії. Поставимо перед собою завдання знайти повну середню енергію молекули, яка враховує поступальний, обертальний та коливальний рухи молекули.

2. Спочатку розглянемо поняття числа ступенів вільності механічної системи. Числом ступенів вільності механічної системи називається кількість незалежних величин, за допомогою яких може бути задане положення системи в просторі. Розглянемо приклади.

Положення матеріальної точки визначається значеннями трьох її координат, наприклад, декартових координат  або сферичних координат  і т.д. Відповідно до цього матеріальна точка має три ступені вільності.

Положення абсолютно твердого тіла можна визначити за допомогою координат  його центра мас і кутів  тіла, що вказують його орієнтацію у просторі. Отже, абсолютно тверде тіло має шість ступенів вільності. При поступальному русі тіла змінюються тільки координати центра мас, у той час як кути  залишаються незмінними. Тому відповідні ступені вільності називаються поступальними:поступальні. Зміни кутів  при нерухомому центрі мас обумовлюються обертанням тіла, у зв'язку із чим відповідні ступені вільності називаються обертальними. Таким чином, із шести ступенів вільності абсолютно твердого тіла три є поступальними й три обертальними.

Тепер розглянемо молекулу, що складається з двох атомів, які пов’язані один з одним жорстким зв’язком (див. рис. 58.1). Це означає, що відстані між атомами не змінюються. Покажемо, що в цьому випадку число ступенів вільності дорівнює п’яти. Дійсно, кожний атом такої двоатомної молекули визначається за допомогою трьох координат ( – шість величин). З іншого боку жорсткий зв’язок, що обумовлює незмінну відстань між двома атомами, зменшує число ступенів вільності на одиницю. Це випливає з того, що координати атомів не є незалежними і пов'язані співвідношенням

            .           (58.1)

Тому, щоб визначити положення системи, досить задати п'ять координат, шосту отримуємо із умови (58.1).

Щоб класифікувати ступені вільності такої системи, врахуємо, що її положення в просторі можна визначити, задавши, наприклад, координати  центра мас системи й кути , що визначають напрямок у просторі прямої . Отже, три ступені вільності будуть поступальними й дві обертальними. Останні відповідають обертанням навколо, взаємно перпендикулярних осей  і , перпендикулярних до осі системи з двох атомів (див. рис. 58.1). Обертання двох матеріальних точок навколо їх осі симетрії позбавлено змісту.

Якщо два атоми пов'язані так, що між ними діє квазипружна сила (тобто сила, подібна до такої, що виникає в розтягнутій або стиснутій пружині), яка дорівнює нулю при деякій рівноважній відстані  між точками, то число ступенів вільності буде дорівнювати шести. Положення такої системи можна визначити, задавши три координати центра мас, кути , що визначають орієнтацію осі системи в просторі, і відстань  між точками. Зміна  обумовлюється коливаннями в системі, у зв'язку із чим ступінь вільності, що відповідає змінам , називають коливальною. Таким чином, молекула з двома атомами, які пов’язані пружним зв'язком, має три поступальні, дві обертальні й одну коливальну системи вільності.

3. З’ясуємо, яка середня кінетична енергія припадає на одну ступінь вільності молекули. Як відомо, середня кінетична енергія поступального руху молекули дорівнює . У будь-якої молекули є три поступальних ступеня вільності. Це означає, що на одну ступінь вільності молекули приходиться енергія, що дорівнює .

Цей результат не випадковість. Виявляється, що має місце теорема про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності: на кожний ступінь вільності (поступальний, обертальний і коливальний) у середньому припадає однакова кінетична енергія, що дорівнює .

4. Знайдемо повну середню енергію молекули. Вважаємо, що нам відома кількість поступальних ступенів вільності ( завжди дорівнює 3), обертальних ступенів вільності (), коливальних ступенів вільності ().

На кожну з цих ступенів вільності згідно теореми про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності приходиться одна і та ж кінетична енергія, що дорівнює . Це означає, що кінетична енергія молекули буде дорівнювати . Однак в молекулі, в якій відбуваються коливання, крім кінетичної є також і потенціальна енергія. У вченні про коливання доводиться, що середні значення кінетичної й потенційної енергій системи, в якій відбуваються гармонічні коливання, однакові. Це означає, що потенціальна енергія коливального руху в молекулі дорівнює кінетичній енергії коливального руху. Тобто . Тоді повна середня енергія молекули біде дорівнювати

            .

Таким чином, середня енергія молекули визначається співвідношенням

            ,           (58.2)

де

                        (58.3)

є сумою поступальних, обертальних та подвоєного числа коливальних ступенів вільності молекули.

Нагадаємо, що закон рівнорозподілу отримано на основі класичних уявлень про характер руху молекул. Тому він є наближеним і не виконується у тих випадках, коли стають істотними квантові ефекти.