§63 Рівняння адіабати ідеального газу [4]

1. У ході будь-якого квазистатичного процесу газ підкоряється своєму рівнянню стану. Для ідеального газу це рівняння має вигляд

                        (63.1)

(рівняння Менделєєва-Клапейрона).

Відбуваються процеси, у ході яких газ, крім рівняння стану, підкоряється ще деякій додатковій умові, яка визначає характер процесу. Ця додаткова умова може полягати, наприклад, у тому, що один з параметрів стану залишається сталим.

Якщо тиск газу залишається сталим, то такий процес називають ізобаричним. У цьому випадку додаткова умова має вигляд . Якщо залишається незмінним об'єм газу (), то такий процес називається ізохоричним. Нарешті, якщо в ході процесу залишається незмінною температура (), то такий процес називається ізотермічним. З рівняння (63.1) випливає, що у випадку ідеального газу при ізотермічному процесі тиск і об'єм пов'язані співвідношенням

            ,           (63.2)

яке називається рівнянням ізотерми ідеального газу, а крива, що обумовлена цим рівнянням, називається ізотермою.

Процес, що протікає без теплообміну із зовнішнім середовищем, називається адіабатичним ().

2. Знайдемо рівняння адіабатичного (адіабатного) процесу, або рівняння адіабати. Для цього використаємо рівняння стану (63.1) та перший закон термодинаміки.

Згідно  першого закону термодинаміки

             або .   (63.3)

У цьому рівнянні використали, що внутрішня енергія ідеального газу визначається формулою , елементарну роботу записали у вигляді . Для адіабатичного процесу, як це випливає з визначення цього процесу, теплообмін із зовнішнім середовищем відсутній .

Далі візьмемо диференціал від обох частин рівняння стану (63.1) й прийдемо до рівності

            .           (63.4)

Виключимо з системи рівнянь (63.3) та (63.4) . Для цього помножимо друге рівняння (63.3) на відношення  й складемо його з рівнянням (63.4). У результаті отримаємо

            ,           (63.5)

де  (див. визначення сталої адіабати). Потім розділимо (63.5) на добуток :

            .           (63.6)

Далі виконуємо очевидні перетворення

            , , , .

Звідси випливає, що

            .           (63.7)

Ми отримали рівняння (63.7) адіабати ідеального газу в змінних  й . Це рівняння називають рівнянням Пуассона.

Якщо написати рівняння (63.7) у вигляді  й замінити  відповідно до (63.1) через  прийдемо до рівняння адіабати ідеального газу у змінних  й :

                        (63.8)

(сталі  й  ми включили в константу; отже, константи у формулах (63.8) і (63.9) мають неоднакове значення).

Аналогічно, коли відповідно рівнянню стану  замінити об’єм  у виразі (63.8), то отримаємо рівняння адіабати у змінних  та :

             або .   (63.9)

3. При доведенні формул вважали, що розглянуті процеси є квазистатичними, які протікають нескінченно повільно. Однак здійснити не тільки нескінченно повільний, а навіть просто дуже повільний адіабатичний процес неможливо, оскільки матеріалів для виготовлення адіабатичної оболонки, які повністю не проводять тепло не існує. Разом з тим кількість теплоти, яким обмінюється тіло із зовнішнім середовищем, буде тим менше, чим швидше протікає процес. Отже, близькими до адіабатичного можуть бути тільки процеси, які протікають досить швидко. Швидкість процесу повинна бути, з одного боку, настільки великою, щоб теплообміном із зовнішнім середовищем можна було знехтувати, а з іншого боку, досить малою для того, щоб процес можна було вважати практично квазистатичним. Такі умови виконуються, зокрема, у межах невеликих об'ємів газу, у якому поширюється звукова хвиля. Тому поведінка газу при проходженні звукової хвилі в межах кожного досить малого об'єму добре описується рівнянням адіабати.