§64 Політропічні процеси. Показник політропи. Рівняння політропи [4]

1. Політропічними (політропними) називаються процеси, у ході яких теплоємність тіла  залишається сталою. Отже, при політропічному процесі газ, крім рівняння стану, підкоряється додатковій умові

            .           (64.1)

Знайдемо рівняння політропи для ідеального газу. Для цього використаємо рівняння стану та перший закон термодинаміки.

У відповідності до першого закону термодинаміки маємо

            .

Використовуючи визначення молярної теплоємності газу можемо записати, що . Тоді перший закон термодинаміки набире вигляду

             або .   (64.2a)

З рівняння стану (Менделєєва-Клапейрона ) випливає, що

            .           (64.2b)

Помножимо рівняння (64.2b) на  і за допомогою його виключимо з останнього рівняння (64.2a) доданок з . у результаті отримаємо

            ,

звідки

            .

Розділимо це рівняння на  й врахуємо, що . У підсумку отримаємо

            .           (64.3)

Уведемо величину

            ,           (64.4)

яка називається показником політропи. Тоді рівнянню (64.3) можна надати вигляду

             або .   (64.5)

Інтегруємо праву й ліву частини останнього рівняння (64.5) аналогічно, як і у випадку адіабатичного процесу й отримуємо:

            .           (64.6)

Рівняння (64.6) і є рівнянням політропи ідеального газу в змінних  й .

Аналогічно, як і у випадку адіабатичного процесу, використовуючи рівняння стану, отримуємо рівняння політропи в змінних  й :

            ,           (64.7a)

та рівняння політропи у змінних  та :

             або .   (64.7b)

2. Ізотермічний, ізохоричний, ізобаричний, адіабатичний процеси можна вважати політропічними процесами з відповідним показником політропи. При цьому рівняння політропи для цих процесів переходять у відповідні рівняння ізопроцесів. Покажемо це.

У випадку ізобаричного процесу молярна теплоємність газу

            .

Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

            .

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння ізобари

            .

У випадку ізохоричного процесу молярна теплоємність газу

            .

Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

            .

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння ізохори

            .

У випадку ізотермічного процесу молярна теплоємність газу

            .

Це узгоджується з тим, що передача тілу кількості теплоти  не приводить до зміни температури: . Показник політропи для цього процесу буде дорівнювати

            .

При цьому рівняння політропи (64.7а) переходить у рівняння ізотерми

            .

У випадку адіабатичного процесу молярна теплоємність газу

            .

Це узгоджується з тим, що адіабатичний процес, за визначенням, протікає без теплопередачі ().Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

            .

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння адіабати

            .