§65 Робота, що виконується газом при ізопроцесах [4]

1. Знайдемо роботу, яку виконує газ при ізотермічному, ізобаричному, ізохоричному та адіабатичному процесах. Для цього використаємо співвідношення, яке визначає роботу при будь-якому процесу

            ,           (65.1)

де  й  – об'єм газу в початковому й кінцевому станах. Далі знайдемо, як у кожному з різних ізопроцесів тиск залежить від об’єму , обчислимо інтеграл (65.1) і знайдемо шукану роботу.

2. Розглянемо ізохоричний процес. У цьому разі ,  й інтеграл (65.1) дорівнює нулю. Таким чином, для ізохоричного процесу . Це справедливо не тільки для ідеального газу, але й взагалі для всякого тіла.

3. Розглянемо ізобаричний процес. Тут тиск  залишається сталим. Тому його можна винести у формулі (65.1) за знак інтеграла. У результаті отримуємо для ізобаричного процесу

            .           (65.2)

Ця формула є справедливою також для будь-якого тіла.

4. Розглянемо ізотермічний процес. У цьому випадку знайдемо залежність тиску від об’єму за допомогою рівняння Менделєєва-Клапейрона . Підставивши цю функцію у формулу (65.1) і взявши до уваги, що при ізотермічному процесі , знаходимо

            .

Таким чином, робота, яка виконується ідеальним газом при ізотермічному процесі, визначається формулою

            .           (65.3)

5. Розглянемо адіабатичний процес. Роботу, яка виконується газом при адіабатичному процесі, можна знайти декількома способами. У першому способі можна за допомогою рівняння адіабати знайти залежність тиску від об’єму (,), підставити цю залежність в (65.1) і знайти шукану роботу . У другому способі використаємо перший закон термодинаміки, візьмемо до уваги, що для адіабатичного процесу . Тоді

                        (65.4)

або

            .

Підставивши вираз для внутрішньої енергії  в цю формулу, знаходимо роботу ідеального газу при адіабатичному процесі

            .

Напишемо цю формулу у вигляді

            .

Використаємо рівняння Пуассона для адіабатичного процесу . Тоді остаточно

            .           (65.5)

З рівняння стану випливає, що . Зробивши таку заміну, отримаємо ще один вираз для роботи, яка виконується ідеальним газом при адіабатичному процесі:

            .           (65.6)

6. Розглянемо політропічний процес. Через те, що формули політропічного процесу подібні формулам для адіабатичного процесу, в яких потрібно сталу адіабати  замінити на сталу політропи , то формули для роботи при політропічному процесі можемо отримати з (65.5) і (65.6), в яких замінимо  на .