§2 Середня й миттєва швидкість. Визначення переміщення і шляху тіла за його швидкістю [4]

1. Середньою швидкістю руху за даний проміжок часу називається векторна величина, яка чисельно дорівнює відношенню вектора переміщення до проміжку часу, за яке це переміщення відбулось:

            .           (2.1)

Вимірюють середню швидкість у системі СІ у метрах за секунду (м/с).

 

 

 

2. У багатьох випадках нас цікавить не середня швидкість тіла за деякий проміжок часу, а швидкість тіла в даний момент часу, або миттєва швидкість. Для визначення миттєвої швидкості матеріальної точки слід прийняти до уваги те, що миттєва швидкість змінюється неперервно. Тому чим менше проміжок часу, протягом якого відбувається вимір переміщення, тим менше встигне змінитися середня швидкість і тим ближчою буде середня швидкість до її миттєвого значення.

Виходячи з вище сказаного, можна визначити миттєву швидкість таким чином. Нехай в деякий момент часу  радіус-вектор, що характеризує положення тіла у просторі, дорівнює  (див. рис. 2.1). У момент часу  радіус-вектор буде , де  – переміщення за час . Тоді середня швидкість за цей проміжок часу буде дорівнювати

            .

Чим меншим буде проміжок часу , тим менше буде відрізнятися середня швидкість на проміжку часу  від миттєвої швидкості в момент часу . Тому миттєву швидкість визначимо як границю, до якої прямує середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу

            .           (2.2)

У математиці таку границю називають похідною. Тому миттєва швидкість є похідною від радіус вектора за часом. З рис. 2.1 випливає, що вектор швидкості  направлений за дотичною до траєкторії у тій точці, де знаходиться частинка в даний момент часу, у той бік, куди рухається частинка. Як правило миттєву швидкість часто називають просто швидкістю. Вимірюють миттєву швидкість у системі СІ у метрах за секунду (м/с).

Знайдемо модуль виразу (2.2), тобто модуль швидкості :

            .           (2.3)

З рис. 2.1 бачимо, що відношення , де  – шлях, який тіло проходить між точками 1 та 2, при зменшенні  прямує до одиниці. Тому ми можемо записати вираз (2.3) у вигляді

            .           (2.4)

Таким чином, модуль вектора миттєвої швидкості дорівнює похідній від шляху за часом, тобто миттєвій шляховій швидкості.

Підставимо у визначення (2.2) радіус-вектор, який виражений через орти та координати матеріальної точки . Візьмемо до уваги, що  є постійними у часі векторами, й отримаємо

            .           (2.5)

Разом з цим вектор швидкості  можна подати через його проекції  на координатні осі у вигляді

            .           (2.6)

Порівняння виразів (2.5) і (2.6) приводить до співвідношень:

            .           (2.7)

Таким чином, проекції вектора дорівнюють похідним відповідних координат за часом.

3. Знайдемо за відомим у кожний момент часу вектором швидкості  переміщення матеріальної точки  від моменту часу  до моменту .

Розіб'ємо інтервал часу  на  малі (не обов'язково однакові) проміжки  ( – номер проміжку, що набуває значення 1,2,…,). Відповідно до формули (2.2) можна вважати, що на -му проміжку часу вектор швидкості приблизно дорівнює . Тобто переміщення за проміжок часу  дорівнює

            .           (2.8)

Зрозуміло, що сумарне переміщення за час від  до  буде дорівнювати

            .           (2.9)

Точне значення переміщення знайдемо, коли малі інтервали часу будуть прямувати до нуля:

            .           (2.10)

У математиці границю суми

            ,           (2.11)

яка складена для значень , що знаходяться у межах від  до , називають визначеним інтегралом від функції , узятим за змінною  від нижньої межі  й верхньої межі , і позначають символом

            .           (2.12)

Порівняння виразів (2.10) і (2.11) показує, що переміщення , яке виконано частинкою за проміжок часу від  до , дорівнює визначеному інтегралу від функції , яка показує, як змінюється вектор швидкості з часом:

            .           (2.13)

Можна пояснити знаходження переміщення  за час від моменту  до моменту  більш коротко. З вище наведених міркувань випливає, що у точних формулах, як для знаходження похідної, так і для знаходження визначеного інтеграла потрібно використовувати проміжки часу , які прямують до нуля. Позначимо такий елементарний проміжок часу, який прямує до нуля, через . Тоді за цей проміжок часу  елементарне переміщення  (теж прямує до нуля) буде визначатися на відміну від наближеного співвідношення (2.8) точною формулою

            .           (2.14)

Зазначимо, що формулу (2.14) можна отримати з (2.2), розглядаючи похідну як відношення елементарного переміщення до елементарного часу. Ми і далі будемо розглядати похідну як відношення відповідних елементарних величин. Геометрична сума елементарних переміщень дасть результуюче переміщення за час від моменту  до .

            ,

яке збігається з (2.13).

4. З урахуванням виразу (2.13) середнє значення вектора швидкості (див. формулу (2.1)) за час руху  можна подати у вигляді

            .           (2.15)

Аналогічно обчислюються середні значення будь-яких інших функцій.