§72 Функція розподілу ймовірності. Функції розподілу молекул за швидкостями Максвелла [4,8]

Розглянемо ряд питань з теорії ймовірності. Вони будуть нам потрібними при вивченні елементів статистичної фізики.

1. Нехай деяка величина  може набувати ряд дискретних значень:

           

Якщо провести  вимірів величини , то виявиться, що величина  набуває значення    раз, значення  –  раз, …,  значення  –  раз і т.д. Зрозуміло, що . Величина

             за умови, що            (72.1)

називається ймовірністю того, що величина  має значення .

Ймовірність має таку властивість

            .           (72.2)

Тут використали, що . Таким чином, сума ймовірностей всіх можливих значень величини  дорівнює одиниці. Про цю властивість говорять як про умову нормування.

2. Знайдемо, використовуючи поняття ймовірності, середнє значення величини . Згідно до визначення середнє значення  знаходимо як суму усіх результатів експериментів, що поділена  на кількість експериментів

            .          

Тут взяли до уваги, що величина  під час вимірів з’являлася  раз. Таким чином, середнє значення величини  знаходимо за допомогою співвідношення

            .           (72.3)

Отримана нами формула дозволяє, знаючи ймовірності різних величин , знайти середнє значення цієї величини.

Розглянемо деяку функцію , аргументом у якої є величина . Будемо вважати, що ймовірність  того, що величина  набуде значення  нам відома. Тоді середнє значення функції , як це отримано в теорії ймовірності, визначається за допомогою співвідношення

            .           (72.4)

Бачимо, що формули (72.3) та (72.4) подібні.

3. Тепер розглянемо випадок, коли величина  може набувати неперервний ряд значень від  до  (зокрема,  і  можуть дорівнювати  й ). Прикладами таких величин можуть служити модуль поступальної швидкості або кінетична енергія молекули. У цьому випадку число можливих значень  нескінченно велике, а кількість молекул  хоча й дуже велика, але скінченна. Тому питання про те, яка кількість молекул має точно задане значення величини  не має змісту, ця кількість дорівнює нулю.

У розглянутому випадку правомірним є питання про те, яка ймовірність  того, що величина  має значення, які належать малому інтервалу . Зрозуміло, що при малому  ця ймовірність буде пропорційною . Крім того, вона повинна в загальному випадку залежати від того, у якому місці осі  розміщений цей інтервал, тобто є функцією . Таким чином,

            .           (72.5)

Тут індекс  біля  вказує на значення , біля якого розміщений інтервал шириною . Функція , що входить у формулу (72.5), називається функцією розподілу ймовірності або густиною ймовірності .

Помноживши  на повне число молекул , отримаємо кількість молекул , що мають значення , яке знаходяться в межах інтервалу :

            .           (72.6)

Інтеграл від , узятий по всім можливим значенням  (тобто «сума» ), повинен дорівнювати повному числу молекул :

            .

Звідси випливає, що

            .           (72.7)

Формула (72.7) є аналогом формули (72.2) і її також називають умовою нормування.

4. Вираз  дає суму значень , яку мають  молекул, а «сума» таких виразів, тобто

            ,           (72.8)

дає суму значень  всіх  молекул. Розділивши цю суму на , отримаємо середнє (за всіма молекулами) значення величини :

            .           (72.9)

Ця формула є аналогом формули (72.3).

Підставивши у формулу (72.9) замість  деяку функцію цієї величини , прийдемо до формули

            ,           (72.10)

яка дозволяє знайти середнє значення довільної функції  за відомою густиною ймовірності . За допомогою цієї формули можна обчислити, наприклад, середнє значення :

            .           (72.11)

5. Розглянемо ідеальний газ, який знаходиться у стані теплової рівноваги. Ми знаємо, що в цьому випадку молекули газу рухаються хаотично. Тобто різні молекули мають різні швидкості як за напрямком, так і за модулем. При цьому з часом через зіткнення ці швидкості змінюються. Поставимо перед собою задачу: описати розподіл молекул за швидкостями.

Для того, щоб розв’язати поставлену задачу скористаємося таким прийомом. Уведемо уявний простір швидкостей (-простір), у якому будемо відкладати уздовж прямокутних координатних осей значення компонент швидкостей  окремих молекул (рис. 72.1). Тоді кожній молекулі буде відповідати у просторі швидкостей точка.

Визначимо кількість молекул , компоненти швидкості  яких лежать в інтервалі . Зрозуміло, що  буде залежати прямо пропорційно від загальної кількості молекул . При малій  ця кількість буде пропорційною ширині інтервалу . Крім того,  повинна в загальному випадку залежати і від величини швидкості . Узагальнюючи сказане вище, можемо записати

            .           (72.12)

Як бачимо, шукану кількість визначає функція . Ця функція називається функцією розподілу молекул за компонентою швидкості . Не важко з’ясувати зміст цієї функції. Перетворимо вираз (72.12), використовуючи, що  є ймовірністю того, що швидкість молекули знаходиться в інтервалі

            .           (72.13)

Порівнюючи формулу (72.13) з (72.5), можемо стверджувати, що  є густиною ймовірності розподілу молекул за компонентою швидкості .

Визначимо кількість молекул , модулі швидкості  яких лежать в інтервалі . Зрозуміло, що  буде залежати прямо пропорційно від загальної кількості молекул . При малій  ця кількість буде пропорційною ширині інтервалу . Крім того,  повинна в загальному випадку залежати і від величини модуля швидкості . У результаті отримуємо

            .           (72.14)

Формулу (72.14) визначає функція , яка називається функцією розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей . Як і в попередньому випадку, неважко показати, що ця функція є густиною ймовірності розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей молекул .

Визначимо кількість молекул , компоненти швидкостей , ,  яких лежать в інтервалах , , . Зрозуміло, що  буде залежати прямо пропорційно від загальної кількості молекул . При малих  ця кількість буде пропорційною об’єму у просторі швидкостей  (див. рис. 72.1). Крім того,  повинна в загальному випадку залежати і від значень компонент швидкостей , , . Таким чином, отримуємо

            .           (72.15)

Формулу (72.15) визначає функція , яка називається функцією розподілу молекул за компонентами швидкостей , , . Ця функція є густиною ймовірності розподілу молекул за компонентами швидкостей молекул , , .

Таким чином, задача опису молекул газу у стані теплової рівноваги зводиться до пошуку функцій , , , які називаються функціями розподілу молекул за швидкостями Максвелла.

6. Вигляд функцій , ,  було встановлено Максвеллом. Для цього він використав рівноправність усіх напрямків руху та незалежність швидкостей , , . У результаті розрахунків було отримано

            ,           (72.16)

            ,           (72.17)

            .           (72.18)

Формули (72.16)–(72.18) називаються Максвеллівським розподілом молекул ідеального газу за швидкостями. У цих формулах  – маса однієї молекули газу;  – стала Больцмана;  – абсолютна температура.