§73 Середні швидкості молекул. Число ударів молекул об одиничну поверхню за одиницю часу [8]

Визначимо величини, які характеризують ідеальний газ, за допомогою розподілу Максвелла.

1. Знайдемо середнє значення модуля швидкості . Для цього використаємо розподіл Максвелла за абсолютними значеннями швидкості (модулям швидкості) молекул

            .           (73.1)

У цій формулі  – маса однієї молекули газу;  – стала Больцмана;  – абсолютна температура. Як відомо, функція  є густиною ймовірності розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей. Тому для знаходження середнього значення швидкості  застосуємо відоме у теорії ймовірності співвідношення

            .           (73.2)

В інтегралі (73.2) проводимо інтегрування (підсумовування) за усіма можливими значеннями модуля швидкості, тобто від нуля до нескінченності. Далі підставляємо в (73.2) розподіл  у явному вигляді і отримуємо

           

            .           (73.3)

Тут провели заміну змінних . Щоб знайти отриманий інтеграл продиференціюємо відомий інтеграл (праву і ліву частини рівності)

           

за параметром . У результаті отримуємо

                        (73.4)

Порівнюємо (73.3) та (73.4) і бачимо, що ці інтеграли є подібними, коли взяти . Тому з (73.3) та (73.4) знаходимо

            .

Зауважимо, що інтеграл (73.3) можна також знайти, використовуючи інтегрування частинами:

           

           

           

            .

Таким чином, середнє значення модуля швидкості молекул дорівнює

             або .   (73.5)

Знайдемо середню швидкість молекул азоту ( =28 г/моль = 2810–3 кг/моль) при кімнатній температурі (293 К):

             = 470м/с.

Для кисню отримуємо для тієї ж температури  = 440м/с, а для водню –  = 1760м/с.

2. Знайдемо середнє значення квадрата швидкості молекул. Для цього використаємо відоме у теорії ймовірності співвідношення

            .           (73.6)

Далі підставляємо в (73.4) розподіл  у явному вигляді

            .           (73.7)

Для того щоб провести інтегрування, використаємо відомий з математики інтеграл Пуассона

            .           (73.8)

Продиференціюємо інтеграл Пуассона (73.8) за параметром  два рази

             

і отримаємо

            .           (73.9)

Порівнюємо (73.9) та (73.7) і бачимо, що ці інтеграли є подібними, коли прийняти . Тому з (73.9) та (73.7) знаходимо

           

            .

Таким чином, середнє значення квадрата швидкості молекул має вигляд

            .           (73.10)

Середньоквадратичною швидкістю молекул називають корінь квадратний з середнього значення квадрата швидкості молекул. Тому ця швидкість дорівнює

            .           (73.11)

3. Знайдемо найбільш імовірну швидкість молекули. Найбільш імовірною швидкістю  називають швидкість, яка відповідає максимальному значенню функції розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей . Функція  описується формулою (73.1), яку неважко зобразити графічно (див. рис. 73.1).

Як відомо, для того щоб знайти максимум будь-якої функції потрібно прирівняти її похідну до нуля, а потім з’ясувати, як змінюється знак цієї похідної при переході через точку екстремуму.

 

 

Тому опустивши у виразі (73.1) множники, що не залежать від , отримаємо для знаходження  співвідношення

            .

Виконавши диференціювання, прийдемо до рівняння

            .

Перший співмножник (експонента) обертається в нуль при , а третій співмножник  – при . Однак із графіка на рис. 73.1 бачимо, що значення  й  відповідають мінімумам функції . Значення , що відповідає максимуму, випливає з рівності нулю другої дужки: . Звідси знаходимо найбільш імовірну швидкість

            .           (73.12)

4. Обчислимо число  ударів молекул об одиничну поверхню за одиницю часу. Нехай газ поміщено у закриту посудину й всі молекули однакові. Ці молекули рухаються з різними швидкостями, які відрізняються одна від одної як за величиною, так і за напрямком. Виділимо групу молекул, проекції швидкості , ,  яких належать таким інтервалам: , , . Число таких молекул, як відомо, дорівнює

            ,           (73.13)

де  є функцією розподілу Максвелла за компонентами швидкостей молекул;  – загальна кількість молекул. Зрозуміло, що в одиниці об’єму буде знаходитися  молекул, де  – об’єм посудини. Розглянемо на стінці посудини малу площу  (рис. 73.2). Якщо молекули рухаються в напрямку до площі , то вони можуть зіштовхнутися з нею. Якщо ж вони рухаються від площадки, то зіткнень не буде. Припустимо, що молекули групи, що розглядається, рухаються в напрямку до площі , і обчислимо число  молекул такої групи, що вдаряються об цю площу за малий час . Побудуємо на площі , як на основі, косий циліндр із твірними , який розміщений усередині посудини. Кожна молекула досліджуваної групи, яка знаходиться у цьому циліндрі, за час  встигне досягти площі  й вдаритися об неї. Тому число ударів  буде дорівнювати числу молекул цієї групи усередині побудованого циліндра, тобто , де  – об'єм циліндра. Направимо координатну вісь  уздовж зовнішньої нормалі до площі . Тоді висота циліндра буде дорівнювати , а його об'єм . Отже,

            .

Зрозуміло, що число ударів молекул цієї групи об одиничну поверхню за одиницю часу буде дорівнювати

            .

Для того щоб знайти повну кількість ударів молекул потрібно провести підсумовування за усіма групами молекул або інтегрування. При цьому потрібно прийняти до уваги, що необхідно враховувати лише ті молекули, які летять у напрямку до площі  (ті молекули, що летять від площини не вдаряються в площу ), тобто мають компоненту швидкості . Також використовуючи (73.15) та явний вигляд функції розподілу Максвелла, отримуємо

            .

           

            .           (73.14)

Останні два інтеграли (73.14) є інтегралами Пуассона (див. формулу (73.8))

            ,

де . Перший інтеграл (73.14) зводиться до стандартного

            .

Тоді вираз (73.14) набуде вигляду

            .

У цій формулі взяли до уваги, що  – концентрація молекул газу в посудині,  – середня швидкість молекул газу. Таким чином, число ударів молекул об одиничну поверхню за одиницю часу буде дорівнювати

            .           (73.15)

 

Підведемо підсумок викладеного в цьому параграфі матеріалу: за допомогою функцій розподілу Максвелла можемо знайти довільні характеристики ідеального газу.