§74 Розподіл Больцмана [4]

1. Як відомо, тиск у полі сили тяжіння Землі змінюється з висотою згідно до формули (барометрична формула)

            ,           (74.1)

де  – тиск на висоті ;  – тиск коли ;  – молярна маса газу;  – універсальна газова стала;  – абсолютна температура;  – прискорення вільного падіння. Змінимо у формулі (74.1) відношення , де  – маса молекули,  – стала Больцмана. Крім того, подамо тиск  у вигляді . У результаті прийдемо до формули

            .

Співвідношення (74.1) отримане для ізотермічної атмосфери. Тому у вищенаведеній формулі значення  в обох частинах рівності однакове, так що  у правій та лівій частинах рівняння можна скоротити. Таким чином, отримуємо

            ,           (74.2)

де  – концентрація молекул (тобто їх число в одиниці об'єму) на висоті ;  концентрація молекул, коли .

Формула (74.2) описує розподіл молекул в ізотермічній атмосфері за висотою. З неї випливає, що зі зниженням температури концентрація молекул на висотах, які відмінні від нуля, зменшується, перетворюючись у нуль при . Це означає, що при абсолютному нулю всі молекули розміщувались б на поверхні Землі. З підвищенням температури залежність  від  стає більш слабкою, молекули виявляються розподіленими за висотою майже рівномірно. Така поведінка концентрації при зміні температури пояснюється тим, що вона відображає «протиборство» двох тенденцій: 1) притягування молекул до Землі (характеризується силою ) прагне розмістити їх на земній поверхні; 2) тепловий рух (характеризується енергією ) прагне розкидати молекули рівномірно за всіма висотами. При кожному конкретному розподілі молекул за висотою (при кожному значенні ) обидві тенденції врівноважують одна одну.

Вираз  є потенціальною енергію молекули . Тому формулу (74.2) можна написати таким чином:

            .           (74.3)

Тут  – концентрація молекул у тому місці, для якого  прийнята такою, що дорівнює нулю;  – концентрація молекул там, де потенціальна енергія молекули дорівнює . Л.Больцман довів, що формула (74.3) є справедливою у випадку потенціального силового поля будь-якої природи для сукупності будь-яких однакових частинок, які знаходяться у стані хаотичного теплового руху. У зв'язку із цим функцію (74.3) називають розподілом Больцмана. Таким чином, розподіл (74.2) являє собою окремий випадок більше загального розподілу (74.3).

Між розподілами Больцмана й Максвелла є велика подібність: і в тому і в іншому випадку основним множником є експонента, під знаком якої знаходиться відношення енергії молекули (в одному випадку потенціальної, в іншому – кінетичної) до величини , яка визначає середню енергію теплового руху молекул.

Візьмемо елементарний об'єм , який розміщено у точці з координатами . Відповідно до формули (74.3) у межах цього об'єму знаходиться число молекул  або

            .           (74.4)

Ця формула виявляє ще більшу подібність із розподілом Максвелла і теж є розподілом Больцмана.