§75 Довжина вільного пробігу молекул [8]

1. Середня швидкість теплового руху молекул газу визначається формулою . Уже при кімнатній температурі вона має порядок швидкості кулі рушниці. Наприклад, при 0°С для молекул водню, азоту й кисню ця швидкість дорівнює відповідно 1700 м/с, 455 м/с і 425 м/с. На ранній стадії розвитку кінетичної теорії газів настільки великі значення швидкостей молекул деяким фізикам здавалися неможливими. Якщо швидкості молекул дійсно такі великі – говорили вони, – то запах пахучої речовини повинен був би поширюватися від одного кінця кімнати до іншого практично миттєво. Насправді за умови відсутності конвективних потоків повітря час поширення запаху на такі відстані може становити багато хвилин й навіть години. Поширення запаху здійснюється за допомогою повільного процесу дифузії.

Повільність дифузії й аналогічних їм явищ Клаузіус пояснив зіткненнями молекул. Молекула газу не увесь час рухається вільно, а час від часу має зіткнення з іншими молекулами. Вільно вона пролітає тільки коротку відстань від одного зіткнення до наступного. У момент зіткнення швидкість молекули різко змінюється як за модулем, так і за напрямком. У результаті траєкторія молекули є не прямою, а ламаною лінією з великою кількістю ланок. Молекула безладно метається туди й сюди, і її загальне просування вперед відбувається порівняно повільно. Для кількісного опису явища Клаузіус увів поняття середньої довжини вільного пробігу, тобто середньої відстані, що пролітає молекула від одного зіткнення до наступного.

2. Для обчислення середньої довжини вільного пробігу будемо користуватися моделлю твердих куль. Між зіткненнями молекули кулі рухаються за інерцією прямолінійно й рівномірно. У моменти зіткнень між молекулами розвиваються дуже великі сили відштовхування, що змінюють їх швидкості за величиною й напрямком. Зрозуміло, така груба модель передає далеко не всі риси явищ, які відбуваються при зіткненнях. Молекули можуть розпадатися й з'єднуватися. Атоми можуть іонізуватися, переходити в збуджені стани й т.д. Все це залишимо зараз без уваги. Модель твердих куль може приблизно вірно описати тільки процеси розсіювання молекул, у яких відбуваються зміни швидкості й напрямку руху цих частинок у результаті зіткнень їх між собою й зі стінками посудини, у якому знаходиться газ.

 

Для спрощення розрахунку припустимо, що рухається тільки одна молекула з сталою швидкістю , а всі інші молекули є нерухомими. Будемо називати молекулу, яка рухається, молекулою . Уявимо, що з молекулою  жорстко зв'язана концентрична з нею тверда сфера  удвічі більшого діаметра. Назвемо цю сферу сферою огородження молекули . У момент зіткнення відстань між центрами молекул, що зіштовхуються, дорівнює діаметру молекули d. Отже, у цей момент центр нерухомої молекули, з якої зіштовхнулася молекула , виявиться на поверхні сфери огородження останньої. Очевидно, він не може проникнути усередину цієї сфери. Між двома послідовними зіткненнями молекули  її сфера огородження описує циліндр, довжина якого і є вільний пробіг молекули . З таких циліндрів складається поверхня, що описується з часом сферою огородження (рис. 75.1). Для стислості будемо називати цю поверхню ламаним циліндром. Якщо центр іншої молекули лежить усередині або на бічній поверхні цього циліндра, то вона зіштовхнеться з молекулою . У противному випадку зіткнення не відбудеться. Нехай  – об'єм ламаного циліндра, що описується сферою  за час . Число зіткнень молекули, що рухається, з іншими молекулами за цей час  дорівнює середньому числу останніх в об'ємі , , де  – число молекул в одиниці об'єму. Ми припускаємо, що середня довжина вільного пробігу  дуже велика у порівнянні з діаметром сфери огородження . Тоді можна знехтувати тими частинами об'єму , які приходяться на злами циліндра, тобто при обчисленні  циліндр можна вважати прямим, а його висоту такою, що дорівнює добутку швидкості молекули  на час . У цьому наближенні , де  – площа поперечного перерізу циліндра. Отже, число зіткнень молекули, що рухається, з іншими молекулами за час  дорівнює , а за одиницю часу

            .           (75.1)

Шлях, пройдений молекулою  за час , дорівнює . Розділивши його на число зіткнень за цей же час, знайдемо середню довжину вільного пробігу молекули:

            .           (75.2)

Як правило, формули (75.1) і (75.2) не є точними, оскільки в основу їх доведення покладене припущення, що рухається тільки одна молекула, а всі інші нерухомі. Математично точний розрахунок було виконано Максвеллом з урахуванням максвеллівського розподілу молекул за швидкостями. Максвелл отримав:

                        (75.3)

            .           (75.4)

Як бачимо формули (75.3) та (75.4) суттєво залежать від величини . Площа перерізу сфери огородження по великому кругу  отримала назву ефективного перетину молекули, точніше газокінетичним ефективним перетином молекули при розсіюванні її на інших молекулах. Якщо розсіювання відбувається на таких же самих молекулах, то ефективний перетин , де  – діаметр молекули (мінімальна відстань, на яку зближуються молекули під час зіткнення). Зазначимо, що мінімальна відстань, на яку зближуються молекули, залежить від енергії (температури) молекул з якими відбувається зіткнення. Тому з підвищенням температури ефективний діаметр молекули зменшується.