§76 Емпіричні рівняння, що описують дифузію, теплопровідність, внутрішнє тертя. Якісне пояснення явищ перенесення в газах [4]

1. Дотепер ми вивчали рівноважні стани й оборотні процеси. Тепер перейдемо до розгляду процесів, що виникають при порушеннях рівноваги в системі. Якщо після порушення рівноваги залишити систему без зовнішнього впливу, який спричинив це порушення, то виникає процес релаксації, у результаті чого система переходить у рівноважний стан. Ми будемо припускати, що за рахунок впливу ззовні нерівноважний стан системи зберігається незмінним протягом необмеженого часу, внаслідок чого процеси, що виникли в системі, будуть стаціонарними (тобто не залежними від часу). Крім того, будемо вважати, що порушення рівноваги невеликі.

Порушення рівноваги приводять до перенесення з одних місць середовища в інші або речовини, або енергії, або імпульсу й т.п. Інтенсивність процесу перенесення характеризується потоком відповідної величини. Потоком якої-небудь величини (наприклад, частинок, маси, енергії, імпульсу, електричного заряду) називається кількість цієї величини, що проходить в одиницю часу через деяку уявну поверхню. Прикладами можуть служити потік води через поперечний переріз труби, потік електричного заряду через поперечний переріз провідника (який характеризується силою струму) і т.п. Поверхня, через яку розглядається потік, може мати будь-яку форму; зокрема, ця поверхня може бути замкненою.

Потік – скалярна алгебраїчна величина, знак якої визначається вибором напрямку, уздовж якого потік уважається додатним. Цей вибір є довільним. У випадку замкнених поверхонь прийнято потік, що виходить назовні, вважати додатним, а в протилежному випадку – від’ємним. Ми будемо розглядати потоки через плоскі поверхні, які є перпендикулярними до осі . Якщо потік даної величини (частинок, енергії, імпульсу) направлений уздовж осі , то будемо вважати його додатним, в іншому випадку – від’ємним.

У цьому параграфі ми розглянемо три явища перенесення: дифузію (перенесення частинок або маси), теплопровідність (перенесення енергії) і внутрішнє тертя (перенесення імпульсу). Спочатку розглянемо емпіричні (тобто такі, які ґрунтуються на досвіді) рівняння цих процесів, що мають застосування до будь-яких середовищ (твердих, рідких і газоподібним). Далі буде викладено елементарну молекулярно-кінетичну теорію дифузії в газах. Молекулярно-кінетичні теорії теплопровідності та в’язкості газів є аналогічними.

2. Дифузія. Дифузією називається вирівнювання концентрації, що обумовлене тепловим рухом, в суміші декількох речовин. Цей процес спостерігається в газоподібних, рідких і твердих середовищах. Ми обмежимося розглядом тільки двокомпонентних сумішей.

 

 

Нехай в одиниці об'єму суміші знаходиться  молекул однієї компоненти й  молекул іншої компоненти. Число молекул даного сорту в одиниці об'єму будемо називати концентрацією цієї компоненти.

Припустимо, що концентрації  й  змінюються уздовж осі  (від координат  і  концентрації не залежать). Швидкість цієї зміни характеризується похідними  й . Похідну  прийнято називати градієнтом концентрації (це не є точним визначенням, насправді градієнт є вектором).

Щоб спостерігати процес дифузії в чистому вигляді, будемо вважати тиск у рідких і газоподібних сумішах таким, що не залежить від . Через це гідродинамічні потоки не виникають. У цьому випадку похідні  й  мають різні знаки (рис. 76.1).

Внаслідок теплового руху виникає потік молекул кожної з компонент у напрямку зменшення її концентрації. Експериментально встановлено, що потік молекул -й компоненти через перпендикулярну до осі  поверхню  ( – кількість молекул -го сорту, які проходять через поверхню  за одиницю часу) визначається рівнянням

            ,           (76.1)

де  – коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом дифузії. Таким чином, потік молекул пропорційний градієнту концентрації. Знак мінус у рівнянні (76.1) обумовлений тим, що потік направлений у напрямку зменшення концентрації.

Помноживши обидві частини формули (76.1) на масу молекули -ї компоненти , отримаємо рівняння дифузії для потоку маси -ї компоненти ( – кількість маси -го сорту речовини, яка проходить через поверхню  за одиницю часу):

            .           (76.2)

Тут  парціальна густина -ї компоненти.

Потік маси  виміряється в кг/с; парціальна густина  – у кг/м3; поверхня  – у м2; координата  – у метрах. Отже, коефіцієнт дифузії  вимірюється в м2/с, тобто має розмірність квадрата довжини поділеного на час. Емпіричне рівняння дифузії (76.1), (76.2) називають законом Фіка.

3. Теплопровідність. Якщо в деякому середовищі створити уздовж осі  градієнт температури, то виникає тепловий потік ( – кількість теплоти, яка проходять через поверхню  за одиницю часу), який задовольняє рівнянню

            .           (76.3)

Тут  – тепловий потік через поверхню , що перпендикулярна до осі ;  – градієнт температури (точніше, проекція градієнта температури на вісь );  – коефіцієнт пропорційності, що залежить від властивостей середовища й називається теплопровідністю (коефіцієнт теплопровідності). Знак мінус у рівнянні (76.3) відображає той факт, що теплота переходить у напрямку зменшення температури, у зв'язку із чим знаки  й  протилежні.

Оскільки одиницею теплового потоку  є джоуль у секунду, тобто ват,  виміряється у ватах на метр-кельвін (Вт/(м∙К)). Рівняння (76.3) являє собою аналітичне формулювання закону, встановленого Фур'є в 1822 р., яке носить його ім'я.

4. Внутрішнє тертя. Формула Ньютона для внутрішнього тертя, що визначає силу внутрішнього тертя в рідинах, справедлива також і для газів. Напишемо цю формулу, замінивши позначення  на :

                        (76.4)

(заміна  на  викликана тим, що буквою  ми будемо позначати невпорядковану швидкість молекул газу). У цій формулі  – коефіцієнт пропорційності, який називають в'язкістю (коефіцієнт в'язкості);  – площа границі між шарами поверхні, на яку діє сила;  – величина, що показує як швидко змінюється швидкість потоку рідини або газу в напрямку , який перпендикулярний до напрямку руху шарів (градієнт ). Рівняння (76.4) було встановлено Ньютоном у 1687 р. і називається законом Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона сила дорівнює похідній імпульсу за часом. Тому рівняння (76.4) можна подати у вигляді

            ,           (76.5)

де  – потік імпульсу через поверхню , який передається від шару до шару ( – кількість імпульсу, яка проходять через поверхню  за одиницю часу). Знак мінус у цій формулі обумовлений тією обставиною, що імпульс «тече» у напрямку зменшення швидкості . Тому знаки потоку імпульсу й похідної  протилежні. В'язкість виміряється в кілограмах на метр-секунду (кг/(м∙с)) або у паскаль-секундах (Па∙с).

5. Елементарна молекулярно-кінетична теорія дифузії в газах. Тут ми викладемо елементарну молекулярно-кінетичну теорію дифузії в газах. Молекулярно-кінетичні теорія теплопровідності та в’язкості газів є подібною до викладеної.

Для простоти будемо припускати, що молекули газу рухаються тільки в трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Відповідно до цього кількість молекул, що пролітають (падають) через одиничну площадку в одиницю часу, будемо обчислювати по наближеній формулі

             (точна формула )     (76.6)

Щоб спростити задачу, будемо вважати, що молекули обох компонент мало відрізняються за масою () і мають практично однакові ефективні перетини (). За цих умов молекулам обох компонент можна приписувати однакову середню швидкість теплового руху , а середню довжину вільного пробігу обчислювати за формулою

            , де .    (76.7)

Нехай зміна концентрації першої компоненти газу уздовж осі  описується функцією  (рис. 76.2). Позначимо число молекул першої компоненти газу, що пролітають в одиницю часу крізь уявну поверхню  у напрямку осі , через ; те ж число для протилежного напрямку – через . Різниця цих чисел дасть потік  молекул першої компоненти через поверхню :

            .           (76.8)

 

 

Згідно до формули (76.6)

            ,           (76.9)

де  – «ефективна» концентрація молекул першої компоненти ліворуч від , а  – «ефективна» концентрація молекул першої компоненти праворуч від .

Через поверхню  пролітають молекули, що перетерпіли останнє зіткнення на різних відстанях від цієї поверхні. Однак у середньому останнє зіткнення відбувається на відстані від , яке дорівнює середній довжині вільного пробігу . Тому за  природно взяти значення , а за  – значення . Тоді, взявши до уваги формули (76.8) і (76.9), можна написати, що

            .           (76.10)

Різницю значень функції  у формулі (76.10) можна подати у вигляді

            .           (76.11)

Тут використали відому з математики наближену формулу  для достатньо малих . Підставивши вираз (76.11) у формулу (76.10), отримаємо, що

            .           (76.12)

Таким чином, ми не тільки прийшли до рівняння (76.1), але й отримали вираз для коефіцієнта дифузії:

            .           (76.13)

Більш точний розрахунок приводить до такої ж формули, але з трохи відмінним числовим коефіцієнтом.

Провівши аналогічні обчислення для другої компоненти газової суміші, ми прийдемо до такого ж виразу, як (76.12), із заміною  на . Отже, коефіцієнт дифузії має однакове значення для обох компонент суміші.

Ми припустили, що молекули обох компонент однакові за масою й ефективним перетинам. Тому вираз (76.12) визначає коефіцієнт самодифузії, тобто дифузії молекул деякого газу в середовищі молекул того ж газу (подібного газу).