§4 Тангенціальне й нормальне прискорення. Радіус кривизни [1]

1. Розглянемо криволінійний плоский рух, в якому швидкість змінюється як за величиною, так і за напрямком. Виявляється, що в цьому випадку зручно використовувати поняття тангенціального та нормального прискорень. Тангенціальним прискоренням  називають компоненту повного прискорення , яка паралельна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 4.1). Нормальним прискоренням  називають компоненту повного прискорення , яка перпендикулярна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що з вищесформульованих визначень випливає, що між повним, тангенціальним та нормальним прискореннями є зв’язок

            .           (4.10)

Крім цього вектор тангенціального прискорення є перпендикулярним до вектора нормального прискорення (див. рис. 4.1). Це означає, що модулі цих прискорень пов’язані між собою співвідношенням

            .           (4.11)

2. З’ясуємо, як пов’язана швидкість тіла, яке рухається по криволінійній траєкторії, з тангенціальним та нормальним прискореннями.

Введемо одиничний вектор , який пов’язаний з тілом  і направлений за дотичною до траєкторії у напрямку руху тіла (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що  є змінним вектором, у різних точках траєкторії він буде мати різний напрямок (модуль цього вектора залишається постійним і таким, що дорівнює одиниці). Вектор швидкості  тіла  також направлений за дотичною до траєкторії (див. рис. 4.1). Тому його можна подати у вигляді

            ,           (4.10)

де  – модуль вектора швидкості. Підставимо (4.10) у визначення прискорення (4.1) і отримаємо

            .           (4.11)

Аналізуючи співвідношення (4.11), бачимо, що перший доданок у правій частині (4.11) має напрямок, який паралельний , тобто є паралельним дотичній. Це означає, що ця компонента повного прискорення, відповідно до визначення, є тангенціальним прискоренням

            .           (4.12)

 

 

Тепер розглянемо другий доданок у (4.11). Знайдемо похідну

            .

Для цього розглянемо рисунок 4.2. У точках 1 та 2 напрямки швидкості тіла визначаються векторами  та . Побудуємо перпендикуляри до дотичних в точках 1 та 2. Ці перпендикуляри перетнуться в деякій точці  і кут між ними буде дорівнювати . Кут між векторами  та  буде теж дорівнювати . Модуль вектора , як це випливає з рис. 4.2, дорівнює

            .

Тут використали відому формулу, що коли , то . Тоді

            .

Зрозуміло, що коли , то точки 1 і 2 будуть наближатись одна до одної і кут  буде теж наближатися до нуля. Це означає, що в цьому випадку вектори  та  будуть збігатися, а вектор  буде перпендикулярним до них, а отже, паралельним вектору  – одиничному вектору, який перпендикулярний дотичній до траєкторії. Таким чином,

            .           (4.13)

Використаємо визначення радіуса кривизни кривої. Згідно з визначенням, радіусом кривизни називають величину, що дорівнює

            ,           (4.14)

де  є довжиною кривої між точками 1 та 2, на яку опирається кут  (див. рис. 4.2). Тоді (4.13) можемо подати у вигляді

            .          

Тут окрім (4.14) використали те, що  дорівнює модулю швидкості тіла. Тепер можемо записати другу компоненту (4.11) в дещо іншому вигляді. Зрозуміло, що ця компонента прискорення перпендикулярна дотичній до кривої і тому є за визначенням нормальним прискоренням

            .           (4.15)

Це прискорення часто ще називають доцентровим прискоренням тому, що коли тіло рухається по колу, то це прискорення завжди направлено до центра кола.

Таким чином,

            .           (4.16)