10.2 Диверсифікація інвестицій і дисперсія доходу

Визначимо тепер, що дає диверсифікація для зменшення ризику і виявимо умови, коли ця мета досягається. За об’єкт аналізу візьмемо деякий абстрактний портфель цінних паперів. Такий вибір пояснюється методологічними перевагами – у цьому випадку простіше виявити залежності між основними змінними. Однак отримані результати можна поширити й на виробничі інвестиції.

У попередньому параграфі ми відмічали, що вимірник ризику в довгострокових фінансових операціях широко поширена така міра, як дисперсія доходу у часі. Диверсифікація портфеля при правильному її застосуванні призводить до зменшення цієї дисперсії при всіх інших однакових умовах. Диверсифікація базується на простій гіпотезі: якщо кожна компонента портфеля (або вид цінного паперу) характеризується деякою дисперсією доходу, то дохід від портфеля має дисперсію, яка визначається його складом. Таким чином, змінюючи склад портфеля, можна змінювати сумарну дисперсію доходу, а в деяких випадках звести її до мінімуму.

Отже, нехай є портфель з п видів цінних паперів. Дохід від одного паперу виду і складає величину di. Сумарний дохід (А), вочевидь, дорівнює:

,

де аі – кількість паперів виду і.

 

Для початку положимо, що показники доходів різних видів паперів є статистично незалежними величинами (інакше кажучи, не корелюють між собою). Дисперсія доходу портфеля (D) в цьому випадку знаходиться як

,

де – дисперсія доходу від паперу виду і;

п – кількість видів цінних паперів.

 

Для залежних у статистичному змісті показників доходу окремих паперів дисперсію сумарного доходу знаходимо так:

,

де – дисперсія доходу від паперу виду і;

п – кількість видів цінних паперів;

– частки в портфелі паперів видів i та j;

–коефіцієнт кореляції доходу від паперів видів i та j;

– середнє квадратичне відхилення доходу у паперів видів i та j.

 

Коефіцієнт кореляції двох змінних х та у, як відомо визначається за формулою

 

 

 

і лежить у межах від -1 до +1.

Оскільки коефіцієнт кореляції може бути як позитивною, так і негативною величиною, при позитивній кореляції дисперсія сумарного доходу зростає, при негативній – скорочується. Насправді, при помітній негативній кореляції позитивні відхилення від середнього доходу одних паперів погашаються негативними відхиленнями в інших. І навпаки, при позитивній кореляції відхилення складаються, що збільшує загальну дисперсію та ризик.

Простежимо тепер, який вплив масштабу диверсифікації на розмір ризику. Під масштабом диверсифікації тут будемо розуміти кількість об’єктів, обраних для інвестицій (кількість видів цінних паперів). Звернемося до умовного прикладу, який дозволяє виділити вплив указаного фактора. Отже, нехай портфель складається з паперів різного виду, але таких, що мають однакову дисперсію доходу (σ20). Питома вага в портфелі кожного виду паперів теж однакова, а загальна сума вкладень дорівнює 1. Нехай показники дохідності в окремих видів паперів статистично незалежні. Скористаємося наведеною формулою і визначимо дисперсію доходу для портфеля, що складається з двох і трьох видів паперів.

 

Отже, для двох паперів маємо:

.

 

Для трьох видів паперів квадратичне відхилення портфеля становитиме 0,58σ0. Таким чином, зі збільшенням кількості складових портфеля ризик зменшується навіть за однакової дисперсії складових елементів. Однак приріст дієвості диверсифікації зменшується.

Портфель має складатися із двох видів паперів, параметри яких:

 

Дохід від портфеля . Таким чином, дохід залежно від величини часток знаходиться у межах . Дисперсія суми доходу становитиме:

.

Визначимо дохід і дисперсію для портфеля з частками, які дорівнюють, припустимо, 0,3 та 0,7; які одержимо:

та А = 2,7. Таким чином, при повній позитивній кореляції , при повній негативній кореляції . У підсумку з імовірністю 95% можна стверджувати, що сумарний дохід знаходиться:

у першому випадку в межах ;

у другому: .

При нульовій кореляції доходів межі становитимуть .