2.3 Формула Ціолковського щодо ідеальної швидкості руху ракети

 

К. Е. Ціолковський своєю відомою формулою для ідеальної швидкості ракети відповів на запитання: за допомогою яких технічних пристроїв можливе досягнення космічних швидкостей і виведення корисного вантажу (бойової частини) на будь-яку із розглянутих траєкторій.

Ідеальною швидкістю (швидкістю Ціолковського ) називають максимальну швидкість, яку може отримати ракета, що здійснює вертикальний політ у безповітряному просторі, за відсутності сили тяжіння після повної витрати ракетного палива.

Ціолковський отримав формулу визначення ідеальної швидкості, скориставшись рівнянням Мещерського, для поступального руху тіл змінної маси:

 .                                 (2.21)

Ураховуючи, яким чином визначена ідеальна швидкість (при ідеальних умовах), рівняння Мещерського без урахування  набуде такого вигляду:

 

,                                              (2.22)

 

де  – тяга ракетного двигуна.

 

У свою чергу, тяга реактивного двигуна визначається:

 

,                                              (2.23)

 

де  – питомий імпульс тяги [м/с];  – масова витрата палива [кг/с]. Знак «мінус» вказує на те, що з часом унаслідок роботи двигуна маса ракети зменшується.

 

Розглянемо початкові та кінцеві умови польоту, а також деякі характеристики самої ракети, у тому числі й конструктивні (рис. 2.9).

Сучасна ракета складається з тисяч деталей, кожна з яких виконує свою специфічну роль. Але з точки зору механіки розгону ракети до необхідної швидкості всю початкову масу  ракети можна поділити на дві частини (рис. 2.9):

– маса робочого тіла  (маса палива);

– кінцева маса (маса конструкції), що залишається після витрати робочого тіла.

 

 

 

Кінцеву масу  часто називають «суха маса», тому що робоче тіло у більшості випадків є рідинним паливом.

У початковий момент польоту при  швидкість ракети , а стартова маса  (рис. 2.9 а).

Відношенняназивають числом Ціолковського. Цю залежність використовують для визначення швидкісних можливостей ракети.

Наприкінці польоту ракети при  після повної витрати палива швидкість ракети стане максимально можливою (ідеальною) , а маса ракети буде складатися тільки з маси конструкції ракети .

З урахуванням цього рівняння (2.20) запишемо у вигляді диференціального рівняння

 

           ,                                   (2.24)

 

де .

 

Після скорочення правої та лівої частини рівняння на dt та перенесення m до правої частини рівняння отримаємо:

.                                  (2.25)

Інтегруючи отримане рівняння у межах швидкості від 0 до  , а масу від  до , отримаємо залежність для визначення ідеальної швидкості (швидкості Ціолковського) одноступеневої ракети:

,                       (2.26)

 

де  - коефіцієнт наповнення ракети паливом.

 

Із аналізу формули Ціолковського можна зробити висновок, що ідеальна швидкість залежить від енергетичної та конструктивної досконалості двигуна () і конструктивної досконалості ракети (). Незважаючи на те що формула (2.26) дає приблизне значення швидкості, вона дозволяє проводити дослідження шляхів збільшення швидкості і відповідно дальності польоту ракети. Із рівняння (2.26) видно, що найбільша (ідеальна) швидкість польоту ракети досягається значеннями питомого імпульсу тяги  і коефіцієнта наповнення ракети паливом. При цьому зміна питомого імпульсу тяги більше впливає на величину швидкості ракети порівняно зі зміною коефіцієнта наповнення ракети паливом. Ось чому при розробленні ракет у першу чергу намагаються збільшити  ракетного двигуна. При збільшенні кількості палива в ракеті, збільшуються її розміри і маса, що призводить до суттєвих економічних затрат і ускладнення умов експлуатації (збереження) ракети.

Для одноступеневих ракет коефіцієнт наповнення ракети паливом знаходиться у межах 0,8 – 0,92 і фізично визначає, що одноступенева ракета на 80 – 92 % складається із палива.

За допомогою формули Ціолковського є можливість розрахувати ідеальну швидкість ракети, а дійсна швидкість внаслідок дії сили тяжіння і опору повітря (гравітаційних та аеродинамічних сил) буде менше на величину :

        ,               (2.27)

де – сумарне зниження швидкості внаслідок дії гравітаційних та аеродинамічних сил.

 

Для одноступеневих ракет зниження швидкості становить 18–25 % від ідеальної швидкості, тобто:

.

На даному етапі розвитку ракетної техніки досягти космічних швидкостей за допомогою одноступеневих ракет практично неможливо. Тому для вирішення цього питання використовують багатоступеневі ракети (ракетні потяги). До визначеного часу працює 1-ша ступінь ракети, потім вона відокремлюється (відбувається відокремлення зайвої маси конструкції) та починає працювати друга ступінь (рис. 2.9 б).

Швидкість польоту багатоступеневої ракети складається зі швидкостей окремих ступенів:

                                   (2.28)

Із цієї залежності можна отримати формулу для визначення швидкості багатоступеневої ракети з урахуванням зменшення швидкості на політ в атмосфері та подолання сили тяжіння (дійсну швидкість багатоступеневої ракети):

                        (2.29)

Якщо на кожній ступені багатоступеневої (двоступеневої) ракети встановлено двигуни з однаковими енергетичними характеристиками, то в цьому випадку формулу (2.29) можемо переписати таким чином:

.           (2.30)