3.5.1 Матриця напрямлених косинусів для переходу від стартової до зв’язаної системи координат

 

Перехід від однієї системи координат до іншої визначається послідовними перетвореннями, які пов'язані з упорядкованою послідовністю елементарних обертань осей системи координат на кути Ейлера відносно нерухомої системи відліку. Елементами матриці є функції кутів Ейлера, а перехід від однієї системи координат до іншої здійснюється за правилами розрахунку матриць.

Матриця напрямних косинусів вважається квадратною матрицею, тому що кількість її рядків т збігається з кількістю її стовпчиків п, тобто т = п.

Матрицю напрямних косинусів зручно позначати двома індексами, наприклад , де нижній індекс відповідає основній нерухомій системі координат (базовій), а верхній індекс – системі, що визначається послідовними поворотами тригранника на кути Ейлера відносно нерухомої системи.

Елементи матриці також позначають двома індексами, наприклад: Аiј де i – номер рядка; ј – номер стовпчика.

.

Кожний елемент матриці дорівнює проекції одиничного вектора, спрямованого по одній координатній осі нерухомої системи, на відповідну вісь іншої (рухомої) системи

(рис. 3.10б). Тобто кожний елемент матриці є скалярним добутком одиничних векторів, що визначаються відповідним рядком т і стовпчиком п:

 

Для складання матриці переходу від початкової до кінцевої системи координат необхідно: по-перше, скласти елементарні матриці послідовного повороту тригранника системи відліку на кути взаємної орієнтації; по-друге, знайти добуток цих елементарних матриць за визначеною послідовністю.

Крім того, потрібно звернути увагу на деякі властивості матриць, які можна використовувати для контролю правильності їх складання:

– перша – сума квадрату елементів будь-якого рядка або стовпчика дорівнює одиниці:

 

                  або ;

– друга – кожний з елементів матриці не повинен перевищувати одиницю:

;

– третя – сума добутку відповідних елементів двох рядків (стовпчиків) дорівнює нулю:

 

або .

Загальну методику координатних перетворень розглянемо на прикладі переходу від стартової системи координат ОСХСУСZС до зв'язаної системи відліку ОХУZ.

Для отримання матриці напрямних косинусів, що зв'язує визначені системи відліку, як відмічалося вище, необхідно спочатку отримати елементарні матриці повороту. Ці елементарні матриці можна знайти після здійснення послідовних поворотів тригранника системи відліку навколо тієї чи іншої осі на кути взаємної орієнтації.

Взаємна орієнтація зв'язаної та стартової СК визначається трьома кутами – υ,ψ,φ. Виходячи з цього, необхідно отримати елементарні матриці повороту на кут υ, ψ та φ

(рис. 3.11).

Повороти тригранника системи координат будемо здійснювати проти годинникової стрілки, тобто у додатному напрямку. Після здійснення цих послідовних поворотів на кути і визначення скалярного добутку одиничних векторів ми отримаємо елементарні матриці повороту :

 

 

.

Тепер, щоб отримати кінцеву матрицю переходу від стартової до зв’язаної СК (матрицю напрямних косинусів), необхідно знати добуток елементарних матриць за такою послідовністю:

 

.

Це і є матриця напрямних косинусів для переходу від стартової до зв’язаної системи координат.

Перехід від стартової до зв’язаної системи координат можна здійснювати за формулою

 

                                   (3.1)

де матриця напрямних косинусів.

Зберігаючи подвійну індексацію елементів матриці, отримаємо такі зв’язки між одиничними векторами за відповідними осями координат:

 

Зворотне перетворення координат можна знайти за допомогою транспонованої матриці .

Матриця  називається транспонованою відносно матриці А, якщо стовпці матриці А є рядками матриці .

Виходячи з цього, зворотне координатне перетворення може здійснюватися за формулою

            .                       (3.2)

Крім того, при зворотному переході від зв’язаної до стартової системи відліку справедлива залежність:

 

Необхідно знати, що матриці напрямних косинусів (таблиці перехідних косинусів) використовують не тільки для перерахунку координат із однієї системи відліку в іншу, а й для перерахунку складових будь-яких сил та моментів, що діють на ЛА в польоті, які виражені у векторній формі.