4.2. Сили тяжіння та коефіцієнти перевантаження

 

Фізична поверхня Землі, яка являє собою поєднання материків і водних просторів, у геометричному відношенні являє собою складну форму, яку неможливо представити жодною із відомих і математично вивчених фігур. За найбільш реальну форму Землі беруть фігуру – геоїд. Це фігура, обмежена поверхнею океанів, які перебувають у стані спокою. Точного математичного опису геоїда наразі не існує.

При проведенні розрахунків, які не потребують великої точності, вважають, що Земля має форму шару, а центр її тяжіння збігається з геометричним центром цього шару.

Для тіла сферичної структури сила тяжіння  на рівні Землі () може бути подана як геометрична сума гравітаційної сили  в точці  і відцентрової сили інерції , яка є наслідком обертання Землі (рис. 4.1):

.                                   (4.1)

 

Згідно з законом всесвітнього тяжіння гравітаційна сила визначається за формулою

,                                  (4.2)

а величина відцентрової сили інерції, обумовлена обертанням Землі, має вираз

 

    ,                              (4.3)

 

де – лінійна швидкість обертання точки  на поверхні Землі; – найкоротша відстань від точки старту  (ракети) до осі обертання Землі.

Лінійна швидкість обертання даної точки Землі визначається виразом

 

                                       ,                               (4.4)

 

де кутова швидкість обертання Землі.

 

Відстань до осі обертання Землі можна визначити як

 

,                                  (4.5)

 

де геоцентрична широта точки старту.

 

Підставляючи вирази (4.4) і (4.5) до формули (4.3), отримаємо вираз для відцентрової сили:

.                       (4.6)

Спроектуємо на напрям сили земного тяжіння рівняння (4.1):

 

,                       (4.7)

 

де астрономічна широта точки старту (кут між прямовисною лінією в даній точці і площиною екватора).

З урахуванням формул (4.2) і (4.6) та знаючи, що , рівняння (4.7) запишеться у вигляді

.                       (4.8)

Виходячи з того що сила тяжіння ракети  та скорочуючи ліву і праву частини рівняння (4.8) на , отримаємо формулу для визначення прискорення вільного падіння на поверхні Землі:

.                       (4.9)

Сила тяжіння ракети  не постійна та змінюється на траєкторії польоту ракети як за рахунок вигорання палива, так і за рахунок зміни прискорення сили тяжіння з висотою і залежить від широти точки старту.

Прискорення сили тяжіння максимальне на полюсах і мінімальне на екваторі. Разом з тим ця різниця невелика – не перевищує 0,55 %. Так , на полюсі () =9,83м/с2, у середніх широтах () =9,81 м/с2, на екваторі () =9,78 м/с2.

Розглянемо зміну прискорення сили тяжіння з висотою над поверхнею Землі. При цьому будемо вважати, що прискорення сили тяжіння змінюється по висоті  від поверхні Землі, як гравітаційне прискорення, тому що відцентрове прискорення становить не більше 0,0004% гравітаційного прискорення.

Прискорення сили тяжіння на висоті  від поверхні Землі розраховується за формулою

,                                  (4.10)

а біля поверхні Землі прискорення дорівнює

    .                              (4.11)

 

Розділивши вираз (4.10) на (4.11), отримаємо

          . (4.12)

У таблиці 4.1 наведена залежність прискорення сили тяжіння від висоти:

 

Таблиця 4.1

,

500      1000    5000    10000  50000  100000            200000

,

8,45     7,36     3,08     1,50     0,125   0,035   0,0093

При невеликих висотах польоту (до 100 км ) та при розрахунках, які не потребують великої точності, прискорення сили тяжіння беруть постійним, що не залежить від висоти польоту, воно дорівнює 9,81 м/с2. Для зазначених висот польоту зв'язок між масою  літального апарата і його силою тяжіння можна вважати лінійним.

Перейдемо до останньої складової сили тяжіння – маси ракети. За час польоту ракета витрачає паливо і маса її постійно змінюється, від моменту старту до моменту вимкнення двигуна ракети:

 

,                                  (4.13)

 

де  – стартова маса ракети;  – витрата маси палива за секунду; – час польоту ракети.

 

З урахуванням (4.12) та (4.13) формула для сили тяжіння має вигляд

     .                  (4.14)

У ракетній техніці важливим є поняття коефіцієнта перенавантаження, чи просто перенавантаження.

Розглянемо умови рівноваги тіла 1 (рис. 4.2) масою т на опорі 2, яке може перебувати у стані спокою (рис. 4.2 а), рухатися прискорено (рис. 4.2 в), вгору (рис. 4.2 б) чи прискорено донизу.

Роль опори може виконувати кабіна ліфта, літака, космічного корабля, а тіла – пасажир, космонавт, прилад системи управління ракети. У стані спокою (рис. 4.2 а) на тіло 1 діє сила тяжіння , прикладена до центру мас О, та реакція опори , яка прикладена до поверхні контакту тіла 1 з опорною поверхнею 2. У свою чергу на опорну поверхню діє сила ваги .

Відповідно до третього закону Ньютона дії завжди є однакова і протилежна протидія. Дією є сила ваги , а протидією – реакція опори . Сила ваги – це сила, з якою тіло 1 діє на опорну поверхню 2. Тільки у стані спокою сила ваги і сила тяжіння  однакові.

Сили визначаються за формулами:

- сила тяжіння            ;

- сила ваги      ;

- реакція опори          .

Уявимо, що тіло з опорою рухається вгору з прискоренням а (рис. 4.2б). Тоді виникає сила інерції , яка буде прикладена, як і сила тяжіння, до ЦМ. Сила інерції  – це реакція тіла на рух з прискоренням  . Вона подібна до додаткової сили ваги, що спрямована в бік, протилежний напрямку прискорення.

Сила тяжіння залишається такою ж, як і у стані спокою, а сила ваги і реакція опори змінюються та будуть дорівнювати:

 

Кожне тіло, яке має масу, володіє властивістю інерції. Необхідно мати на увазі, що тіло властивістю інерції володіє завжди, тоді як сила інерції виникає лише у випадку, коли на тіло діють сили, що викликають прискорення.

У випадку, коли тіло рухається прискорено вниз з прискоренням (рис. 4.2в), для сил маємо:

,

,

тобто вага тіла зменшилася на величину .

Особливий інтерес становить рух тіла вниз із прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння .

У цьому випадку сила ваги і реакція опори дорівнюють нулю:

 

 

Це явище отримало назву стану невагомості. Невагомість буде тільки у випадку відсутності реакції опору (безопірний стан) і тільки під впливом одних лише сил тяжіння за відсутності зовнішніх і внутрішніх поверхневих сил. Це космічний корабель у всесвітньому просторі, падаючий ліфт (при обриванні троса), людина, що здійснює стрибок, тобто всі тіла у вільному падінні, якщо не враховувати опір повітря.

Тепер зупинимося на понятті «сила ваги». Сила тяжіння і сила ваги – різні поняття і їх не слід ототожнювати між собою. Як уже було зазначено, сила тяжіння – це геометрична сума сили земного тяжіння і відцентрової сили, яка є наслідком обертання Землі. А вагою тіла називають силу, з якою тіло під дією сили тяжіння тисне на опору. За відсутності опори тіло під дією сили тяжіння падає, прискорюючи свій рух. Цей прискорений рух називається вільним падінням, і тіло в цьому випадку не має ваги, тобто стає невагомим.

Так, наприклад, на широті Києва тіло вагою 1000 г буде важити: на полюсі 1002 г, а на екваторі 997 г і різниця щодо ваги одного і того ж тіла при зміні широти місця може бути знайдена тільки при використанні пружинних терезів, гирьові різницю не визначать.

Сила інерції може в декілька разів перевищувати силу тяжіння. Коли тіло рухається з прискоренням, то кажуть, що воно зазнає перенавантаження.

Перенавантаження визначається числом, яке показує, у скільки разів поверхневі сили, що діють на тіло, більші за його силу тяжіння:

                                   ( 4.15)

Перенавантаження – величина векторна і як сила інерції має напрямок проти прискорення. Перенавантаження у вертикальній площині вважається додатним, якщо спрямоване вгору і від'ємним, якщо спрямоване донизу.

У горизонтальній площині перенавантаження вважають додатним при розгоні тіла і від'ємним при гальмуванні.

Наведемо формули, за якими визначають перенавантаження в напрямку ОХ (рис. 4.2):

 

а) для стану рівноваги:

;

б) для прискореного руху вгору:

 

 

в) для прискореного руху донизу:

 

Для стану невагомості nX = 0, тому що .

Коефіцієнт перенавантаження в напрямку 0Y буде дорівнювати нулю тому, що сили в цьому напрямку не діють, отже: