5.3 Рівняння руху ракет на пасивній ділянці траєкторії

 

ПДТ становить більш ніж 90% всієї траєкторії руху ракети, і при розрахунку її елементів не можна не враховувати кривизну Землі. Тому при складанні рівнянь руху будемо використовувати криволінійну СК.

За аналогією з системою рівнянь, що описують рух ракети на АДТ, можемо знайти рівняння руху ракети на ПДТ.

Для виводення рівнянь руху ЛА на ПДТ додатково введемо ряд припущень:

- ураховуючи, що в кінці АДТ вимикається двигун ракети, то відповідно на ПДТ відсутня сила тяги ;

- з вимкненням двигуна знімається напруга з системи управління ракети, тобто на ПДТ відсутні також і управляючі сили  та .

З урахуванням цих припущень дійдемо висновку, що на ПДТ ракета рухається під дією лише двох сил – аеродинамічної сили  і сили тяжіння  (де – маса ракети в момент вимкнення двигуна). До цього ж припустимо, що ракета летить з кутом атаки, який дорівнює нулю, тому аеродинамічну силу можна подати як .

Таким чином, з урахуванням цих припущень політ ракети на ПДТ описується таким диференціальним рівнянням:

.                       (5.16)

 

 

Проектуючи його на осі швидкісної системи координат  і , можемо отримати рівняння поступального руху ракети на ПДТ (рис. 5.2):

 

                        (5.17)

,                                  (5.18)

 

де – прискорення ЦМ ракети вздовж осі OYV (нормальне прискорення);  – кут нахилу вектора швидкості до горизонту точки старту, який зв’язаний з кутом його нахилу до місцевого горизонту і полярним кутом η таким співвідношенням:

                                               (5.19)

З формули (5.19) випливає таке співвідношення між кутовими швидкостями:

.                                              (5.20)

Нормальне прискорення  залежить від кривизни траєкторії, для визначення якої потрібно відлік кутів нахилу дотичної до траєкторії проводити весь час від одного напряму – горизонту точки старту. Тому в рівнянні (5.18) при розрахунку  взята кутова швидкість повороту дотичної до траєкторії відносно горизонту точки старту, а не місцевого горизонту.

Залежність, яка визначає швидкість руху ЦМ по осі OYV, аналогічна формулі (5.10):

                        (5.21)

а рівняння його швидкості вздовж осі OXV можна отримати наступним чином. Якщо рух по осі ОХу розглядати як обертальний (по дузі великого кола Землі) навколо ЦМ 00 Землі, то швидкість буде лінійною швидкістю обертання, яка дорівнює добутку радіуса обертання (радіуса Землі RЗ) на кутову швидкість обертання

                                   (5.22)

Вектор швидкості ЦМ ракети у довільній точці пасивної ділянки траєкторії спроектуємо на напрямок місцевого горизонту, тоді:

     .                             (5.23)

Швидкість  можна розглядати також як швидкість обертального руху центра мас ракети навколо центра мас Землі, але при радіусі обертання , де – висота польоту ракети. Звідси відповідно до формули (5.22) знаходимо

                        (5.24)

Підставляючи цей вираз до формули (5.22), отримаємо рівняння, яке визначає швидкість руху ЦМ ракети вздовж осі ОКХК:

                        (5.25)

Вводячи в рівняння (5.18) співвідношення (5.20) і (5.24) та розділивши ліву та праву частини рівняння (5.17) і (5.18) відповідно на і , отримаємо систему рівнянь, які описують рух ЦМ ракети на ПДТ (при нульовому куті атаки):

                        (5.26)

У випадку руху ракети з кутом атаки, відмінним від нуля, рівняння (5.16) запишеться у вигляді

 

у рівнянні (5.18) добавиться член

і остаточно:

            (5.27)

Рівняння руху ракети відносно ЦМ аналогічне рівнянню (5.8), але оскільки система управління ракети на ПДТ не працює, управляючий момент тангажу буде дорівнювати нулю:

                                   (5.28)

Таким чином, система рівнянь ракети на ПДТ при куті атаки  у криволінійній системі координат має вигляд:

 

            (5.29)

 

Координати ЦМ ракети визначаються шляхом інтегрування рівнянь (5.21) і (5.25).

Система (5.29) є математичною моделлю руху ракети на пасивній ділянці траєкторії. Вона вирішується методом чисельного інтегрування та для кожного моменту часу польоту дає елементи пасивної ділянки траєкторії –

 

 

 

На рис 5.3 як приклад показано загальний характер зміни швидкості ракети у функції від часу польоту, де  – швидкість ракети у вершині траєкторії;  – час польоту до неї;  – ці ж параметри в кінці активної ділянки,  і Т-у точці падіння;  – швидкісний напір повітря.

За умов відсутності зовнішніх аеродинамічних сил та

якщо не враховувати кривизну Землі, політ ракети на ПДТ описується такими диференціальними рівняннями:

 

            (5.30)