6.4 Стабілізація обертанням

 

Стабілізація ракет обертанням полягає в тому, що ракета розкручується відносно поздовжньої осі до дуже значних кутових швидкостей. Під впливом швидкого обертання поздовжня вісь набирає особливих властивостей, які називаються гіроскопічними, і проявляє стійкість, тобто неподатливість до дії перевертаючого моменту тангажа .

Гіроскопічна властивість під час дії на ракету перевертаючого моменту полягає в тому, що ракета, яка швидко обертається, проявляє гіроскопічний ефект, який виражається в опорі спробам змінити положення поздовжньої осі ракети в польоті.

Гіроскоп - це тверде симетричне тіло, яке швидко обертається відносно осі симетрії. Звичайна дзиґа, колесо велосипеда, маховик - усе це приклади гіроскопів, а будь-який гіроскоп має чудові властивості:

- він намагається зберегти одного разу заданий напрям своєї осі обертання;

- якщо до гіроскопа прикласти зовнішній момент, то його вісь буде рухатись не в напрямку, в якому діє момент, а в напрямку, перпендикулярному до нього.

Розглянемо ці властивості за допомогою дуже відомої іграшки, яку називають дзиґою. Нерухому дзиґу внаслідок дії перевертаючого моменту, який утворюється силою тяжіння, неможливо поставити на загострений кінець: дзиґа неодмінно падає на бік (рис. 6.9).

 

 

 

 

Якщо її підкинути вгору , то вона летить, безпорадно перевертаючись у повітрі. Приведемо дзиґу в швидке обертання навколо її поздовжньої осі. Опираючись своїм загостреним кінцем об поверхню, вона зберігає положення своєї осі незмінним і не падає, а здійснює коловий рух навколо середнього положення (вертикалі), причому кожна точка на осі дзиґи описує в просторі конус із кутом розворот δ. Такий рух осі дзиґи називається прецесійним.

Підкинемо дзиґу вгору, вона стійко зберігатиме положення своєї осі. Падаючи донизу на поверхню опори, вона далі буде обертатися. Крім того, нахил поверхні опори не змінює її положення.

Отже, з одного боку, перевертаючий момент, який виникає внаслідок її сили тяжіння, намагається збільшити кут δ, а з іншого боку, завдяки обертанню дзиґи навколо своєї осі й прецесійному руху, виникає гіроскопічний момент, який урівноважує перевертаючий момент і перешкоджає зміні положення осі дзиґи відносно вертикальної осі, тобто перешкоджає збільшенню кута δ .

Розглянемо фізичну сутність виникнення гіроскопічного моменту.

Нехай дзиґа (рис. 6.10) обертається із сталою кутовою швидкістю  навколо своє осі Z й одночасно повертається навколо осі Y. Ураховуючи, що дзиґа бере  участь у складному русі: здійснює відносне обертання зі швидкістю  і одночасно бере участь у переносному обертанні з кутовою швидкістю , то відокремленим на тілі гіроскопа чотирьом симетричним матеріальним точкам 1, 2, 3, 4 буде надаватися прискорення Коріоліса.

Унаслідок відносного руху гіроскопа з кутовою швидкістю  відстань цих точок до осі переносного руху Y буде безперервно змінюватись. Оскільки відстань точок до осі обертання змінюється, то будуть змінюватися за величиною і лінійною швидкістю їх переносного руху:

.                                  (6.13)

 

Лінійна швидкість Vл переносного руху точки 2 збільшуватиметься тому, що точка віддаляється від осі обертання Y. Поворотне прискорення  буде напрямлене відповідно до напрямку швидкості , а Коріолісова сила інерції  паралельна від'ємному напряму осі Z.

Дотримуючись подібної послідовності, легко визначити напрям поворотних прискорень  і C4 та Коріолісових сил C3 і C4. У підсумку отримаємо таку картину: Коріолісові сили інерції, що діють на матеріальні точки дзиґи, які розташовані вище осі X, напрямлені паралельно від'ємному напряму осі Z а Коріолісові сили інерції, що діють на точки нижньої відносно осі X частини дзиґи, напрямлені в бік додаткового напряму осі Z.

Другою причиною появи Коріолісових сил є зміна напрямку лінійної швидкості відносного руху матеріальних частинок дзиґи (рис. 6.11 а). Ця зміна відбувається внаслідок складного руху дзиґи, при якому дзиґа одночасно обертається навколо двох перпендикулярних осей.

 

Відокремимо на обводі дзиґи чотири симетрично розташовані матеріальні частинки 1, 2, 3, 4 так, щоб частинки 1 і 3 знаходилися на вертикальній осі переносного обертання.

Якщо не було б переносного обертання дзиґи з кутовою швидкістю , то всі частинки дзиґи оберталися б в одній площині, яка не змінює свого положення (на рисунку показана суцільною лінією). Частинка 1 має лінійну швидкість відносного обертання . У результаті повороту дзиґи навколо вертикальної осі частинки жорсткої дзиґи будуть обертатися в другій площині, яка позначена пунктиром. Унаслідок цього зміниться напрям вектора лінійної швидкості відносного руху точок 1 і 3, які займуть положення  і відповідно.

Зміна векторів швидкості  і  за напрямом означає, що матеріальним частинкам 1 і 3 надається Коріолісове прискорення, яке направлене перпендикулярно до площини диску дзиґи в бік переносного обертання. Відмітимо, що вектори лінійної швидкості відносного обертання точок 2 і 4 не будуть змінювати свого положення: вони переносяться паралельно самі до себе.

Вектори  і  паралельні осі переносного обертання, а це свідчить про те, що зміна відстані частинок 2 і 4 не відбувається до осі переносного обертання, і, відповідно, цим частинкам не надається Коріолісове прискорення.

Якщо побудувати епюру Коріолісових сил інерції, що діють на різні матеріальні частинки дзиґи, вона матиме вигляд, показаний на рис. 6.11 б.

Складаючи елементарні Коріолісові сили, зводимо їх до двох рівнодійних сил, які утворюють пару сил і розвивають момент відносно осі X. Цей момент, який виникає при одночасному обертанні дзиґи навколо його двох осей, називається моментом гіроскопічної реакції, або просто гіроскопічним моментом . Гіроскопічний момент у нашому прикладі направлений у від'ємному напрямку осі X. Для визначення напрямку гіроскопічного моменту використовують правило Жуковського.

Якщо гіроскоп, що обертається навколо головної осі, повертати навколо іншої осі, то виникає гіроскопічний момент, який намагається поєднати по короткому шляху вектор кутової швидкості відносного обертання Q. з вектором кутової швидкості переносного обертання m.

Вектор гіроскопічного моменту Мг завжди перпендикулярний до вектора кутової швидкості Q відносного обертання і вектора кутової швидкості  переносного обертання. Аналогічно можна пояснити явище стійкості реактивного снаряда (в подальшому снаряда), який обертається (рис. 6.12).

У цьому разі, основною зовнішньою силою, яка утворює момент відносно ЦМ, є сила опору повітря R, напрямлена у бік, протилежний швидкості руху снаряда.

 

 

Дотична Xv до траєкторії відіграє роль вертикалі дзиґи; роль сили тяжіння, яка утворює перевертаючий момент дзиґи, відіграє сила опору повітря R; осі Z відповідає поздовжня вісь снаряда X; роль точки опори виконує ЦМ снаряда.

Снаряд, якому надана достатньо велика власна кутова швидкість  , буде подібно до дзиґи мало відхилятися від дотичної до траєкторії, прецесуючи навколо неї з кутовою швидкістю . Крім прецесійного руху осі снаряда, спостерігається нутаційний рух осі, тобто відбувається коливання кута нутації в межах від  до .

Площину, в якій розглядається кут нутації δ, називають площиною опору, тобто площиною, яка проходить через вісь снаряда і дотичну до траєкторії. Отже, нутаційні коливання - це коливання осі снаряда у площині опору. Але оскільки вісь снаряда здійснює прецесійний рух, напрям площини опору в просторі безперервно змінюється. Таким чином, складний рух снаряда навколо центра мас можна подати у вигляді такоїсхеми: вісь снаряда безперервно коливається у площині опору відносно дотичної до траєкторії, а сама площина опору безперервно обертається навколо дотичної до траєкторії.

Розглянемо рух снарядів відносно ЦМ на початковому відрізку ПДТ. Цей відрізок обирається зазвичай тому, що він для снаряда є найбільш несприятливим з точки зору забезпечення його стійкості, оскільки характеризується найбільшими значеннями швидкості й перевертаючого моменту, що діє на снаряд.

Для ґрунтовного розуміння природи польоту снаряда використовують такі кутові координати (рис. 6.13): δ - кут нутаційних коливань осі снаряда у площині опору; υ-кут прецесії, який визначає поворот площини опору в її обертовому русі відносно вектора швидкості; φ - кут повороту ракети навколо поздовжньої осі.

 

 

Відповідні кутові швидкості на рис. 6.13 позначені через ; вектори цих швидкостей відкладені уздовж тих осей, навколо яких відбувається відповідний рух. Залежності, які описують рух снаряда навколо ЦМ, можна отримати, наприклад, виходячи із теореми щодо моменту кількості руху, яка визначає рух твердого тіла відносно точки:

 

,                                  (6.14)

 

де -вектор моменту кількості руху;  - сумарний момент.

 

Проектуючи ліву і праву частини рівняння (6.6) на будь-яку із осей , можна скласти рівняння руху снаряда відносно кожної з цих осей [16].

Розв’язання диференціального рівняння обертання снаряда навколо власної осі обертання дає залежність такого вигляду:

 

      ,                            (6.15)

 

де - кутова швидкість обертання снаряда навколо своєї осі на даний момент часу;  - початкова кутова швидкість обертання снаряда навколо своєї осі; k(t) - функція часу польоту снаряда, вигляд якої визначається значенням гальмівного моменту.

 

Момент, що пригальмовує обертання снаряда навколо його осі обертання, виникає внаслідок в'язких властивостей повітря і тертя повітря об поверхню снаряда. Через ці перешкоди швидкість обертання снаряда поступово зменшується.

Розв’язання рівняння обертання осі снаряда навколо дотичної до траєкторії показує, що прецесійний рух снаряда відбувається практично зі сталою кутовою швидкістю, яка визначається таким співвідношенням:

 

                            (6.16)

 

де IX - полярний момент інерції снаряда (відносно поздовжньої осі X); IY - екваторіальний момент інерції снаряда (відносно осі Y).

 

Для снарядів визначеного типу відношення екваторіального моменту до полярного являє собою достатньо стабільну величину. При цьому можна вважати, що , оскільки осьовий та екваторіальний моменти інерції снаряда зв'язані один з одним співвідношенням . Тобто прецесійний рух снаряда навколо дотичної відбувається з кутовою швидкістю, яка приблизно в 20 разів менша за швидкість обертання снаряда навколо своєї осі. Так, наприклад, для 76 - мм снаряда швидкість обертання навколо власної осі становить приблизно  = 20000 об/хв, і прецесійне обертання в цьому випадку відбувається з кутовою швидкістю  = 17об/с.

Розв’язуючи рівняння нутаційних коливань осі снаряда у площині опору, за умови  > 0, отримаємо

 

                        (6.17)

 

де  - коефіцієнт гіроскопічної стійкості снаряда (стійкому польоту снаряда відповідає умова >0).

 

Рівняння (6.17) показує, що нутаційні коливання являють собою гармонічні коливання з періодом  та обмеженою амплітудою .

Отже, рух снаряда, який обертається, характеризується тим, що його вісь здійснює гармонічні коливання в площині опору, а сама площина обертається з практично сталою швидкістю навколо дотичної. З часом під дією демпфірувального моменту відбувається загасання нутаційних коливань, разом з тим зменшується і середнє значення кута нутації (рис. 6.14).

Картина руху осі снаряда відповідно до (6.17) являє собою складний просторовий рух, що зображений на рис. 6.14 у вигляді двох кутових координат S і v, які визначають положення осі снаряда в кожний момент часу.

 

Ця залежність S = f(y) дана в полярних координатах, причому за полярний кут узятий кут v повороту площини опору навколо дотичної, а кут нутації S зображується радіусом - вектором.

Розглянемо вплив обертання ракети на напрям її польоту. На більшій частині ПДТ особливості руху ракети обумовлені кривизною траєкторії, яку раніше ми не враховували, вважаючи  чи . Але з переходом ракети на криволінійну ділянку траєкторії виникає нове джерело відхилення ракети від дотичної (вектора швидкості ) до траєкторії внаслідок безперервного зниження дотичної (рис. 6.15). У цьому випадку дотична перестає бути віссю прецесійного руху, який відбувається вже не навколо дотичної, а навколо іншої осі, яка відхилена від неї вбік на кут . Ця вісь прецесійного руху називається віссю динамічної рівноваги. Кут між напрямом осі динамічної рівноваги і дотичної до траєкторії називається кутом динамічної рівноваги і позначається  (рис. 6.15).

 

При цьому якщо ракета має обертання, що направлене праворуч, то динамічна вісь відхиляється вправо від вектора швидкості і площини пуску (якщо дивитися по напряму руху), якщо ж обертання ракети здійснюється ліворуч - то динамічна вісь рівноваги відхиляється вліво від площини пуску.

Отже вісь динамічної рівноваги, тобто те середнє положення осі ракети, навколо якого відбувається прецесійний рух, відхиляється праворуч від площини пуску під час обертанні ракети праворуч. Скористаємося теоремою про зміну вектора моменту кількості руху . В першому наближенні можна прийняти, що вектор моменту кількості руху  має напрямок уздовж осі ракети і величина його дорівнює

 

                            ,                              (6.18)

 

де Іх - полярний момент інерції;  - кутова швидкість обертання ракети навколо своєї осі.

З урахуванням того, що внаслідок гіроскопічних властивостей снаряда його вісь стежить за зміною напряму дотичної до траєкторії (напряму вектора швидкості), при переході ракети від точки 1 до точки 2 криволінійної ділянки траєкторії (рис. 6.16) змінюється напрям вектора кількості руху , і відповідно є приріст цього вектора . Очевидно, що вектор лежить у вертикальній площині (в першому приближенні). Ураховуючи величину малого інтервалу  переходу снаряда із положення 1 до положення 2, ми отримаємо середню величину швидкості зміни вектора .

 

Ураховуючи величину малого інтервалу переходу ракети із положення 1 до положення 2, отримаємо середню величину швидкості зміни вектора  .  Вочевидь, це буде векторна величина, напрям якої збігається з напрямом .

Виходячи з того, що - нескінченно мала величина, то в кожний момент часу має місце швидкість зміни вектора моменту кількості руху:

 

яка являє собою вектор, що розміщений у вертикальній площині (в першому наближенні). У той же час, згідно з основною теоремою обертального руху м, швидкість зміни вектора моменту кількості руху дорівнює діючому на тіло моменту. Отже, зміна вектора моменту кількості руху на криволінійній ділянці траєкторії обумовлена дією на ракету ще однієї складової перевертаючого моменту. Вектор  розташований у вертикальній площині й напрямлений у бік зниження дотичної, тобто в напрямку внутрішньої нормалі (у бік ввігнутості) траєкторії (рис. 6.17).

Відповідно до загального правила, якщо дивитися з кінця вектора моменту , обертання, яке викликає цей момент, є таким, що відбувається в напрямі проти ходу годинникової стрілки.

Отже, під дією моменту, який виникає внаслідок зниження дотичної на криволінійній ділянці траєкторії, середнє положення осі ракети (осі динамічної рівноваги) буде відхиленим праворуч від дотичної до траєкторії (від площини стрільби). Унаслідок цього ракета рухатиметься дещо боком, так що виникає бокова складова сили опору повітря, під дією якої відбувається зміщення ракети праворуч від площини пуску. Це систематичне бокове відхилення від площини пуску називають деривацією. При обертанні ракети праворуч воно буде зміщуватися праворуч від площини пуску - права деривація, а при обертанні ліворуч ракета також зміщуватиметься ліворуч - ліва деривація. Деривація ракет безпосередньо пов'язана з утворенням кута динамічної рівноваги δр  і є наслідком дії трьох факторів:

обертання ракети;

дії сили тяжіння, яка приводить до викривлення траєкторії;

дії сили опору повітря, яка викликає поворот середнього положення осі ракети і відповідно зміщення ЦМ ракети від площини пуску.

Значення кута δр може бути розраховане за формулою [6]:

                        (6.19)

 

де К – коефіцієнт, в якому об'єднанні сталі величини чи величини, які мало змінюються під час руху по траєкторії; H(Y)- функція висоти над рівнем моря, виражає відношення  густини повітря на висоті точки траєкторії до густини повітря на поверхні Землі за нормальних умов.

 

Аналіз величин, які входять до формули (6.19), показує, що кут Sp уздовж пасивної ділянки змінюється, причому в районі вершини траєкторії, де величина cosΘ близька до найбільшої, а H(Y) - до найменшої, він досягає найбільшого значення. При неправильному виборі швидкості обертання ракети кут δР біля вершини траєкторії може стати настільки великим, що приведе до втрати ракетою стійкості. Отже, кут  необхідно розглядати як самостійний критерій, який оцінює стійкість ракети на криволінійній ділянці траєкторії.

Таким чином, стабілізація ракет у польоті обертанням є одним зі способів досягнення точності пуску, але даний спосіб характерний для стабілізації польоту некерованих ЛА.