1.4 Основні закони класичної механіки

 

До основних законів механіки, що є базою теорії польоту ракет, належать класичні закони Ньютона. Ці закони є підсумком узагальнення висновків із великої кількості випробувань і спостережень. Правильність висновків, що випливають із законів, підтверджуються повсякденною практикою людини. На основі законів класичної механіки побудовані різні споруди, машини, прилади, робота яких є доказом об'єктивності та правильності положень цих основних законів.

Перший закон Ньютона (закон інерції): будь-яке матеріальне тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки вплив з боку інших тіл не змінить його стану.

Властивість матеріального тіла зберігати рівномірний і прямолінійний рух чи перебувати у стані спокою за відсутності дії на нього сил називається інерцією. Рівномірним прямолінійним рухом є рух із незмінною за величиною і напрямком швидкістю, тобто рух з постійним вектором швидкості (рух за інерцією). Стан руху чи спокою може змінюватися тільки при дії прикладеної до нього сили. У всіх випадках, коли вектор швидкості змінюється (як за величиною, так і за напрямком), існує прискорення.

Розглянемо рух штучного супутника Землі по коловій орбіті навколо Землі (рис. 1.5). З рис. 1.5 видно, що супутник рухається з прискоренням унаслідок зміни напрямку вектора швидкості, незмінним залишається лише величина вектора швидкості.

 

 

Відповідне прискорення  , як ми далі визначимо, дорівнює величині

=,                                            (1.3)

де  – незмінна величина швидкості; r – радіус кола.

 

Це прискорення в усіх точках траєкторії має напрямок до центра кола і називається нормальним прискоренням. Згідно з першим законом Ньютона причиною існування прискорення є сила. У нашому випадку причиною колового руху супутника є сила, що не дозволяє здійснювати йому прямолінійний рух у напрямку вектора швидкості. Ця сила – сила тяжіння Землі (сила гравітації).

Другий закон Ньютона (встановлює зв'язок між силою і прискоренням): сила, що діє на матеріальне тіло, надає йому прискорення, пропорційного величині сили та спрямованого у той самий бік, що і ця сила:

 

,                                              (1.4)

 

де – величина сили; m – маса матеріального тіла;  – прискорення матеріального тіла.

 

Напрям руху в загальному випадку може не збігатися з напрямком дії сили. Наприклад, тіло, кинуте в безповітряному просторі під кутом до горизонту, буде рухатися по кривій лінії (параболі), весь час змінюючи напрям свого руху, тоді як діюча на тіло сила Земного тяжіння і прискорення, яке надається нею, завжди спрямовані по вертикалі донизу. Напрям руху буде збігатися з напрямком сили в тому випадку, коли сила, прикладена до вільного тіла, збігається з напрямом руху.

Уявимо тіло, яке рухається рівномірно і прямолінійно. Прикладемо до його ЦМ деяку силу в напрямку руху. Від дії сили напрям руху не змінюється, а швидкість руху буде зростати. Прискорення у цьому випадку буде додатним, а рух – рівноприскореним.

Якщо сила прикладена у бік, протилежний до руху тіла, швидкість тіла буде зменшуватися, зберігаючи той самий напрямок. Прискорення у цьому випадку буде від'ємним, а рух – рівноуповільненим.

Якщо на тіло діє сила, перпендикулярна до напрямку його руху, то рух не буде прямолінійним. У цьому випадку швидкість залишається постійною за величиною, але безперервно буде змінювати свій напрямок. Траєкторія руху центра мас тіла буде викривлена тим більше, чим більша величина діючої сили і чим менша швидкість руху тіла. Таким чином, підбиваючи підсумок з наведених прикладів, можна зазначити, що прискорення, яке надається тілу при дії на нього сили, приводить не тільки до зміни швидкості за величиною, а також і за напрямком.

У наведеному прикладі (рис. 1.5) при відомих значеннях маси супутника та його прискорення за формулою (1.4) можемо розрахувати силу, під дією якої супутник здійснює свій рух по колу. Спрямована ця сила, як і прискорення, до центра кола, тобто до Землі. Виникає питання, чому супутник не падає на Землю. Тому що закони природи не вимагають від нього рухатися в бік дії сили. У цей бік завжди спрямований вектор прискорення, але не вектор швидкості, який показує напрямок руху.

Одна і та сама сила надає різним тілам неоднакові прискорення. Величина набутих різними тілами прискорень залежить не тільки від величини діючих сил, а й від деяких властивостей самих тіл. Ця властивість характеризується особливою фізичною величиною, яка називається масою тіла. Як бачимо із формули (1.4), чим більша маса тіла, тим менше надається тілу прискорення при постійному значенні сили. Отже, маса чи кількість речовини в тілі характеризує його інертність, тобто опірність, «неподатливість» тіла дії на нього сили.

Вочевидь, якщо до тіла прикладені декілька сил, то прискорення тіла буде дорівнювати геометричній сумі прискорень, які надаються кожною із сил, тобто під величиною сили F необхідно розуміти рівнодійну всіх сил ∑, прикладених до тіла.

Вище розглянуто другий закон механіки для випадків, коли маса точки залишається незмінною. У ряді механічних задач, наприклад, при розгляді руху ракети, маса не залишається сталою. У таких випадках необхідно користуватися виразом закону в загальному вигляді, а саме: зміна механічного імпульсу тіла (кількості руху тіла) пропорційна прикладеній силі і відбувається в напрямку діючої сили:

 

,                                   (1.5)

 

де  – імпульс (кількість руху тіла).

Імпульс відіграє істотну роль у механіці руху тіл. Наприклад, шофер з досвіду знає, що час потрібний для того, щоб зупинити навантажену машину навіть при малій швидкості, не меншій від часу гальмування розвантаженої машини при великій швидкості. Їх механічні рухи еквівалентні, якщо однакові добутки їх мас на швидкість.

Рівняння (1.5) можна записати у вигляді

   .                                (1.6)

З 1.6 видно, що зміна імпульсу тіла залежить не тільки від величини прикладеної сили, а й від часу її дії. Тому та ж сама зміна імпульсу може бути викликана великою силою за малий час дії і малою силою за великий час дії. Добуток сили на час її дії називають імпульсом сили.

Під час розв'язування задач на рух тіла сталої маси зазвичай спочатку складають рівняння динаміки у векторній формі

,                                  (1.7)

а потім виражають його в проекціях на координатні осі.

За виразами 1.6, 1.7 розв'язують задачі з механіки двох типів: задачі на знаходження діючих сил, коли відомі маса матеріальної точки і її координати як функції    і задачі на знаходження цих функцій,

коли відомі діючі сили:

                         (1.8)

Задачі першого типу розв'язують методом диференціювання, а задачі другого типу – методом інтегрування. У подальшому будемо розглядати задачі другого типу, в яких для визначення сталих інтегрування повинні бути задані початкові умови: координати початкового положення точки  і її початкова швидкість

Вираз другого закону Ньютона (1.4) називають основним рівнянням динаміки матеріальної точки.

Третій закон Ньютона (закон рівності дії і протидії): будь-якій дії завжди відповідає однакова за величиною і протилежно спрямована протидія:

 

  ,                                            (1.9)

 

де  – сила дії на матеріальну точку; – сила протидії на матеріальну точку.

 

Оскільки під силою розуміють взаємодію тіл, при якій відбувається зміна їх механічного стану, то відповідно у природі не існує односторонньої дії сил, тобто немає односторонньої дії тіл одне на одне, а є їх взаємодія.

Рівність дії і протидії не потрібно ототожнювати із рівністю їх результатів. Відомо, що результат дії сили на тіло залежить не тільки від її величини, а й визначається рядом інших обставин: масою тіла, його пружними властивостями і наявністю інших сил, що діють на тіло. Так, при зіткненні двох тіл різної маси дія (сила) їх одне на одне буде однаковою, а результат цих дій, який виражений в зміні механічного стану тіл, як правило, буде різним.

У прикладі (рис. 1.5) дії сили тяжіння Землі на супутник відповідає протидія – сила , яка діє з боку супутника на Землю та дорівнює за величиною першій силі і спрямована до супутника. Ця сила згідно з другим законом Ньютона надає прискорення Землі, яке у стільки разів менше прискорення, яке надає Земля супутнику, у скільки маса Землі більша за масу супутника. А враховуючи те що маса Землі дорівнює ~5,976-10 кг, будь-який штучний супутник надає Землі незначного прискорення, яким можна знехтувати.