2. Дослідження науково-методичного забезпечення розробки та впровадження кредитно-модульних технологій при вивченні математичних дисциплін

 

 

Проведений аналіз змісту обраної наукової проблеми та шляхів її розв’язку дає підстави вважати, що дослідження ефективності впровадження кредитно-модульних технологій  при вивченні математичних дисциплін – процес складний і багатогранний. Тому для оптимізації процесу пошуку ефективних шляхів розв’язання проблеми дослідження бажано здійснювати поетапно.

На першому етапі на основі аналізу наукової, методичної, нормативної літератури, проведених діагностичних досліджень із питань особливостей та закономірностей розробки та впровадження кредитно-модульних технологій встановились протиріччя між існуючим і необхідним науково-методичним забезпеченням вивчення математичних дисциплін за новими формами навчання.

на другому етапі встановлювався сучасний стан розробки навчальних програм за вимогами кредитно-модульної системи навчання. Зміст та структури цих програм повинні зумовити  посилення ролі самостійної роботи студентів та удосконалення педагогічних методик, впровадження активних та інтерактивних технологій навчання з метою якості освіти. Але при викладанні математичних дисциплін тут є певні особливості. Збільшення об’єму навчальної інформації при суттєвому скороченні аудиторних годин призводить до того, що студент не завжди засвоює базові фундаментальні математичні поняття на належному рівні, не кажучи вже про більш складні та досить абстрактні питання математичних курсів. Необхідно шукати джерела активізації творчого потенціалу студентів, необхідно готувати їх до продуктивної самостійної роботи.

Ми виділили при дослідженні деякі аспекти, які стосуються особливостей викладання математичних дисципліну вищому навчальному закладі.

1. Не можна просто викладати навчальний матеріал, потрібно вчити аналізувати, узагальнювати, обґрунтовувати.

2. Важливо збільшувати питому вагу самостійної роботи студентів через індивідуальні і колективні домашні завдання та комплексні розрахунково-графічні роботи. Завдання передбачають самостійне опрацювання деяких тем навчального матеріалу, самостійне розв’язування завдань різних рівнів складності, які за змістом охоплюють програмний матеріал, викладений протягом 2-3х практичних занять, або цілого модуля, з подальшим контролем знань у формі колоквіумів, письмової контрольної роботи тощо (процес самостійної роботи студентів повинен бути керованим).  При цьому студентам повинен бути доступним інтерактивний комплекс навчально-методичного забезпечення кожної дисципліни.

3. Форма занять повинна бути комбінована. Іноді потрібно поєднувати традиційну лекцію з виступами студентів, лекції з застосуванням  засобів мультимедіа; розв’язування задач; виконання завдань із використанням комп’ютерних математичних пакетів.

4. Необхідно вчити працювати студентів з навчальною літературою, розвивати навички розшифровки стислих доведень.

5. Виховувати у студентів прагнення до самостійної дослідницької діяльності виконання навчальних проектів.

Таким чином, на заняттях з математичних дисциплін знання повинно виступати не як готовий результат, а як результат певного роду дослідницької діяльності, і саме ця діяльність та її способи повинні стати предметом засвоєння шляхом її активного відтворення у співпраці студентів між собою та викладачем, який організовує та направляє цей процес.

На третьому етапі розробляли навчально-методичні матеріали щодо організації навчальної діяльності студентів у процесі реформування вищої освіти.

Найбільш консервативним видом навчальної діяльності є лекція. Традиційно на лекції викладач, маючи обмежений запас часу, намагається подати найбільше програмного матеріалу, а студент законспектувати як можна більше, тому все це стисло. Підвищити навчальну мотивацію студентів можна, використовуючи на лекції фрагменти електронного матеріалу, коментарі до теоретичного матеріал, формульовки означень, записи формул, демонстрації таблиць, результатів розрахунків і т.ін. Такі матеріали були створені викладачами кафедри математичного аналізу і методів оптимізації СумДУ при вивченні матеріалу з курсів «Лінійна алгебра», «Векторна алгебра», «Аналітична геометрія на площині та у просторі», «Диференціальне та інтегральне числення», «Диференціальні рівняння», «Елементи теорії поля», «Ряди», «Теорія ймовірностей та математичної статистики». Можна відмітити, що їх специфіка пов’язана з неперервністю, логічністю, послідовністю висновків математичних тверджень.

Студентам також було запропоновано електронний конспект лекцій, що дозволяло не переписувати з екрану матеріал, а зосередитися на його змісті. Найбільш ефективним було роздрукування електронного конспекту, у якому студент на лекції може давати коментарі та доповнення. Студентам імпонує можливість обговорення складних питань безпосередньо під час їх вивчення, якісного пред’явлення графічних зображень і можливості їх динамічної побудови, ефективне використання часу, який може не витрачатися на списування з дошки. Велике практичне значення для студентів має також наявність комп’ютерних тестів з дисципліни та постійно поновлюючого курсу лекцій.

Розробка дидактичних матеріалів на практичні та індивідуальні заняття, що проводяться з урахуванням кредитно-модульних технологій, відбувалися з урахуванням інтеграції теорії та практики навчання і будувалися на гнучкому застосуванні методів та прийомів викладання і навчання з урахуванням основних психолого-дидактичних закономірностей. Прийоми, як відомо, являють собою окремі елементи, із яких складаються методи навчання. Методичні прийоми, які використовувались нами у розробленій методичній системі для забезпечення реалізації вивчення математичних дисциплін студентами за кредитно-модульними технологіями з метою підвищення якості їх математичної підготовки.

На етапі перцепції, тобто при ознайомленні і усвідомленні студентами нової інформації передбачалось використання прийомів, які включали у зміст навчання прийоми бінарних опозицій при вивченні понять і властивостей математичних об’єктів, порівняння, аналогії і протиставлення, прийому змістових опорів при діленні навчального матеріалу на модулі та міні-модулі, прийомів алгоритмів навчального матеріалу. Вказані прийоми дозволяють забезпечити слідування принципам послідовності, систематичності, а також вимогам поєднання наукової точності та доступності викладу матеріалу.

Прийом бінарних опозицій полягає у розгляді пар математичних об’єктів, що володіють протилежними властивостями, допомагають формуванню умінь будувати заперечення вивчаємих понять та тверджень. Побудова заперечень базується на правилі логіки предикатів. Як показує практика навчання студентів, найбільші труднощі виникають при побудові символьних формульовок бінарних понять обмежений-необмежений, монотонний-немонотонний, неперервний-розривний і т.д.

Прийом змістовних опорів полягає у діленні формульвок на частини так, що кожна частина несе змістовне навантаження, що відображає ключове відношення у об’єктах, що розглядаються. Елемент еврестичності полягає у виявленні цих ключових відношень, які формують «несучу конструкцію» формульовки. Наприклад, формульовка критерію О.Коші збіжності і рівномірної збіжності приводиться у курсі математичного аналізу, десь близько п’яти раз для різних математичних об’єктів – числових послідовностей, функцій, числових і функціональних рядів і невласних інтегралів, що залежать від параметра. Загальна, «зовнішня» структура формульовки як шаблон незмінна. Змінюється лише об’єкт, який «вбудовується» в неї. За допомогою цього прийому, що актуалізує семіотичні зв’язки, які спираються на суттєво математичні відношення, реалізується систематизація, класифікація математичних формульовок, означень та ознак деяких математичних об’єктів. практика навчання показує, що засвоєння матеріалу є більш успішним, якщо застосувати прийом алгоритмізації, наприклад, при дослідженні функціональних рядів на рівномірну збіжність за ознаками Абеля, Дірехле. Як правило, навіть вивчення формульовки на пам'ять студенти не пов’язують перераховані вимоги з практичними діями, які необхідно зробити для дослідження у конкретному прикладі. У цьому випадку компонента знань практики навчання полягає у набутті навичок символьної формульовки понять і застосування її до розв’язання відповідної конкретної задачі. Запропонований такий дидактичний матеріал для студентів дозволяє при вивченні матеріалу модуля систематизувати математичні знання, побачити логіку і внутрішній взаємозв’язок вивчаємих понять.

Підготовка до практичних занять є однією з важливих складових вивчення вищої математики. Однак, як показує досвід, студенти дуже часто нехтують підготовкою до практичних занять. Тому вже після першої лекції до практичного заняття студентам пропонується система завдань для актуалізації знань. За допомогою таких систем викладач може проконтролювати вивчення відповідного теоретичного матеріалу студентами, скорегувати їх знання.

Система задач за темою «Визначники та їх властивості».

Перевірити, чи правильно встановили знак рівності між визначниками (потрібно відповідати так чи ні).

Вказівка: завдання усні, більшість з них не розрахована на обчислення визначників за якимось правилом.

1).

2) .

3) .

4) .

5)

6)

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13)

14) 15. Чи є правильним твердження: визначники рівні тільки тоді, коли їх відповідні елементи співпадають?

Ця система завдань видається студентам перед безпосереднім обчисленням визначників.

На відміну від завдань більшості підручників, спрямованих на використання тієї чи іншої властивості визначника під час його обчислення, завдання 1-14 вимагають здійснити дії у зворотньому напрямку – визначити властивість, якою вже скористалися. Для цього студента необхідно використовувати евристики «модифікуйте», «порівнюйте», «спостерігайте», «дійте за аналогією», «розв’язуйте з кінця». Задача 15 вимагає узагальнення результатів, отриманих під час розв’язання попередніх чотирнадцяти задач. Серед завдань для актуалізації знань необхідним є використання завдань, які спростовують хибні уявлення студентів, запобігають помилкам, що можуть виникнути під час самостійного вивчення теоретичного матеріалу (це викладач визначає з досвіду роботи). Завдання 5, 6 даної системи показують, що визначник, у якого діагональні елементи дорівнюють нулю, а може і не дорівнювати.

Крім системи завдань, студентам пропонуються евристичні підказки (на аркушах разом із завданнями) щодо евристик, які необхідно використати, евристичні орієнтири, обґрунтовано доцільність їх використання.

Евристичні підказки

Під час розв’язання задач користуйтеся евристиками:

«порівнюйте» стовпці, рядки, елементи визначників;

«модифікуйте» - змінюйте місцями рядки, стовпці, елементи визначників з метою отримати визначники з однаковими відповідними елементами;

 «обертайте дії», щоб встановити якою властивістю скористалися;

«спостерігайте», знаходьте визначники з властивостями, які відрізняють їх від інших (завдання 5-10);

«розв’язуйте з кінця» (завдання 11-12);

«узагальнюйте», «погляньте на попередні задачі з іншої точки зору» (завдання 15).

Після самостійного розв’язання студентами завдань системи вони дають на окремих аркушах пояснення.

Пояснення до розв’язання завдань.

У визначнику поміняли місцями 2-й та 3-й рядки.

Властивість. Визначник змінить знак на протилежний, якщо поміняти місцями два його рядки (стовпці). Тому знак рівності встановлений неправильно. Правильним буде:

.

У визначнику 1-й рядок поміняли місцями з 2-им, а потім 2-й з 3-ім. Тобто, 2 рази використовуючи властивість із завдання 1, ми отримаємо, що визначник не змінює знак. Знак рівності встановлено правильно.

У визначнику рядки замінили відповідними за номером стовпцями (або навпаки).

Властивість: Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями і навпаки. Знак рівності встановлено вірно.

Ситуація аналогічна завданню 1, тільки для стовпців. Знак рівності встановлено вірно.

Легко побачити, що добутки елементів, що стоять на побічній діагоналі, та й у вершинах відповідних трикутників дорівнюють нулю, добуток елементів на головній діагоналі дорівнює нулю. Залишились добутки  та , які стоять у вершинах трикутників відносно головної діагоналі, в сумі вони не дають 0 (правило трикутника). Знак рівності встановлено неправильно. Не існує властивості, в якій стверджується, що визначник у якого на діагоналі стоять нулі дорівнює 0.

Завдання аналогічне 5, але добутки елементів  та  які стоять у вершинах трикутників відносно головної діагоналі, в сумі вони дають 0 (правило трикутника). Знак рівності встановлено правильно.

Властивість. Визначник дорівнює 0, якщо всі елементи рядка (стовпця) рівні 0. Знак рівності встановлено неправильно.

Даний визначник має трикутний вигляд. Визначник має трикутний вигляд, якщо дорівнюють нулю всі його елементи, які стоять під або над однією з діагоналей. В такому випадку, визначник дорівнює добутку елементів названої діагоналі з урахуванням знаку. Знак рівності встановлено правильно.

Завдання аналогічно 8. Знак рівності неправильний. Визначник дорівнює 15.

 У визначнику елементи 1 та 3 рядка пропорційні.

Властивість. Визначник дорівнює нулю, якщо елементи двох рядків (стовпців) пропорційні. Знак рівності встановлено неправильно.

Властивість. Визначник збільшиться в n разів, якщо всі елементи рядка (стовпця) помножити на число n. У нас відбулося множення 3-го стовпця, а значить і визначника на число 7. Звідси випливає, що можна виносити n за знак визначника. Знак встановлено правильно.

Не плутайте із властивістю із завдання 11. Знак рівності встановлено неправильно.

До другого рядка цього визначника додали перший, помножений на число 3.

Властивість. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помноженого на те ж саме число. Знак рівності правильно.

Визначник розкладений за елементами 1-го рядка.

Властивість. Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення. Алгебраїчне доповнення елемента : , де  - мінор елемента  визначника n-го порядку – визначник (n-1)-го порядку, одержаний із даного шляхом ви креслення рядка і стовпця, що містять . В даному випадку алгебраїчне доповнення до елемента рівного 8: , тобто перед 8 повинен бути знак « – ». Знак рівності встановлений правильно.

Твердження неправильне. Продивіться попередні завдання, в багатьох із них між визначниками стверджується рівність, а відповідні елементи є різні.

Контроль може здійснюватися, коли студенти працюють над відповідними завданнями, складаючи їх самостійно та пояснюючи. Або  самими студентами, перевіряючи відповідні завдання, складеними та поясненими їх товаришами.