10.1. Общие сведения о нелинейных системах

В предыдущих главах изучались линейные системы. Рассмотрим подробнее значение этого термина. Упрощенно можно считать, что линейные системы - это такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции - реакция системы на линейную комбинацию (суперпозицию) воздействий совпадает с такой же линейной комбинацией реакций на каждое воздействие в отдельности. ^ Из этого общего принципа следует, например, что линейное статическое звено должно описываться линейной (пропорциональной) зависимостью у = Ки между входом u(t) G и выходом y(t) G где К - /хт-матрица, зависящая от ^ в нестационарном случае. Если рассматривается динамическая система непрерывного времени, то в линейном конечномерном случае она описывается линейными дифференциальными уравнениями, дискретная система - линейными разностными уравнениями и т.д.

Системы, для которых этот принцип не выполняется, относятся к нелинейным. Заметим, что данное определение носит ’’негативный” характер в том смысле, что оно указывает на свойство, которое у определяемых систем отсутствует. Правильнее сказать, что свойство линейности выделяет класс линейных систем из всех (вообще говоря, - нелинейных) систем. Однако и в терминологическом, и в методическом отношении удобнее считать, что линейные и нелинейные системы относятся к разным классам.

Отметим, что если в состав системы входит хотя бы одно нелинейное звено, то и вся система в целом становится нелинейной. Это дает основание иногда определять линейные системы, как системы, состоящие только из линейных звеньев. Нелинейной системой тогда называется система, содержащая хотя бы один нелинейный элемент.

Следует подчеркнуть, что все реальные системы являются нелинейными. Физическим звеньям свойственны явления насыщения, гистерезиса, люфта и т.д. Однако линейным системам не случайно уделено такое большое внимание в теории систем. Прежде всего, теория линейных систем достаточно проста. Можно даже считать ее практически завершенной. Теория нелинейных систем суш;ественно сложнее, значительные усилия по исследованию нелинейных систем обычно приводят к менее детальному описанию процессов, чем в линейном случае. Нелинейные системы могут обладать такой сложностью и таким разнообразием свойств, что представляется невозможным говорить о завершении теории таких систем в обозримом будуш;ем. Конечно, простота исследования не является сама по себе достаточным основанием для применения линейной теории. Однако очень во многих случаях использование линеаризованной модели дает практически те же результаты, что и применение более точной нелинейной модели. Следует также учесть, что при составлении модели системы неизбежно возникают ошибки, связанные, например, с погрешностью определения значений параметров объекта. Влияние этих ошибок может оказаться более суш;ественным, чем погрешностей, вызванных линеаризацией модели. Определенным теоретическим обоснованием применимости линейной теории систем служит первый метод А.М. Ляпунова, согласно которому при ’’гладкой” нелинейной характеристике устойчивость нелинейной системы можно исследовать по первому (линейному) приближению [34]. ^ Поэтому на практике обычно выполняется предварительное исследование линеаризованной модели, для которой и производится синтез закона управления. Затем осуш;ествляется анализ полученной системы с использованием более полной, нелинейной, модели. Во многих случаях оказывается, что нелинейные свойства системы не играют суш;ественной роли. При таком подходе целесообразно обеспечивать выпол

нение заданных технических требований с определенным ’’запасом”, что позволяет предотвратить нарушение требуемых показателей при влиянии неучтенных нелинейностей.

Вместе с тем имеется обширный класс систем, для которых нелинейные свойства являются принципиально важными и применение линейных моделей приводит к качественно неверным результатам. Выше уже упоминалось о ситуации, в которой устойчивость состояния равновесия не может быть исследована по линейному приближению. Более суш;ественным является то, что для многих систем линеаризация в рабочей области значений просто невыполнима из- за негладкости (недифференцируемости) нелинейных характеристик. Это явление имеет место, когда в систему входят ’’разрывные” нелинейности, например релейные звенья. Кроме того, даже в тех случаях, когда линеаризация возможна и даже можно сделать вывод об устойчивости состояния равновесия, применение линейных моделей может привести к весьма суш;ественным количественным ошибкам. Наконец, в науке и технике все чаш;е возникают задачи, когда исследуемые или создаваемые режимы системы являются неравновесными, например колебательными. При этом система может демонстрировать сложное (мультистабильное, хаотическое) поведение, которое принципиально не может быть описано в рамках линейной теории и требует новых подходов (см. главу 13).

Во всех перечисленных ситуациях требуется использование методов теории нелинейных систем.

Таким образом, нелинейности, свойственные реальным физическим системам, можно (со значительной степенью условности) разбить на два класса:

•    существенные нелинейности, влиянием которых нельзя пренебречь без суш;ественной ошибки при определении характеристик системы;

•    несущественные нелинейности, влиянием которых пренебречь можно. ^

Имеется и другой способ классификации нелинейных зве-

ньев, основанный на причинах их появления в системе. С этой точки зрения нелинейности можно разбить на естественные и искусственные [преднамеренно вводимые).

Естественные нелинейности присутствуют в системе в силу физических свойств материалов, из которых изготовлены входящие в нее устройства, особенностей уравнений, описывающих происходящие в объекте управления процессы, и т.д.

В этой связи уже упоминались насыщение, люфт, гистерезис, свойственные реальным физическим звеньям разной природы. В цифровых системах управления присутствует специфичная ступенчатая нелинейность, вызванная конечностью разрядной сетки ЭВМ и преобразователей сигналов. При синтезе закона управления эти нелинейности можно учитывать, или нет, в зависимости от их уровня, однако они считаются заданными, не изменяемыми без переработки конструкции объекта или узлов системы.

Искусственные нелинейности вводятся проектировщиком в закон управления, чтобы обеспечить требуемое (оптимальное) качество работы системы. В зависимости от требований, предъявленных к системе управления и условий ее функционирования, могут быть различные варианты введения нелинейных зависимостей в закон управления. Эти варианты образуют целые, иногда весьма обширные, направления в теории управления. Перечислим некоторые из них.

Оптимальные по быстродействию системы управления. Оптимальное по быстродействию управление при ограниченном уровне управляющего воздействия достигается при существенно нелинейном (релейном) законе управления, когда сигнал управления принимает крайние значения в зависимости от текущего состояния системы [2, 76, 93, 94].

Адаптивные (самонастраивающиеся) системы управления. Эти системы предназначены для работы в условиях значительной априорной неопределенности параметров объекта и условий среды. Недостающая информация об объекте получается автоматически в процессе работы системы на основе текущих измерений. В подавляющем большинстве случаев адаптивные системы являются существенно нелинейными [8, 76, 93, 103, 106].

Экстремальные системы управления. Экстремальные системы должны обеспечить в процессе работы минимальное

(или максимальное) значение некоторого функционала качества, зависящего от значений процесса в системе. В таких системах, следовательно, цель управления задана не в виде требуемого значения выхода объекта, а через функционал качества. В процессе работы должна быть обеспечена автоматическая настройка на экстремум данного функционала, положение которого может меняться в зависимости от разных условий и быть неизвестным до начала работы системы [8, 93].

Системы с переменной структурой. Такие системы включают в себя несколько, как правило, линейных регуляторов (’’структур”), между которыми происходит переключение при формировании управляющего воздействия, причем выбор структуры выполняется на основе текущей информации о состоянии объекта (а не программно во времени). Это приводит к тому, что закон управления в целом оказывается существенно нелинейным [8, 30, 93, 102, 191].

Системы с нелинейными корректирующими устройствами (НКУ). При разработке нелинейных корректирующих устройств обычно ставится задача ’’развязать” зависимость между амплитудной и фазовой частотными характеристиками, свойственную для всех линейных звеньев. Достижение этого эффекта позволяет, например, осуществить амплитудное подавление влияния колебаний, вызванных упругими свойствами конструкций без внесения нежелательного фазового запаздывания. НКУ могут оказаться эффективными и для повышения точности систем управления [ИЗ].

Имеются и другие классы систем с преднамеренно вводимыми нелинейностями. Изучение всех возможных вариантов использования нелинейных законов управления, как и разработанных методов теории нелинейных систем, конечно же выходит за рамки этой книги, поэтому в дальнейшем кратко ознакомимся лишь с некоторыми из них. Подробнее о методах теории нелинейных систем можно прочесть в других книгах новой серии ’’Анализ и синтез нелинейных систем” [64, 56], а также в [2, 28, 76, 84, 71, 93, 95].