10.2. Уравнения нелинейных звеньев и систем

Как и для линейных систем, можно выделить статические (безынерционные) и динамические (инерционные) нелиней-

ные звенья. Напомним, что поведение статических звеньев полностью определяется их статической характеристикой, то есть зависимостью выходной величины от входной в тот же момент времени:

Статическим описанием пользуются, когда можно пренебречь инерционностью звена для данной задачи (более подробно см. [72]).

Для конечномерных дифференциальных систем (непрерывного времени) динамические звенья можно описать уравнениями состояния

Здесь x{t) G Л", u[t) G y{t) Е - векторы состояния,

входа и выхода системы; /(•) ETZ", д{-) ETZ^ - вектор-функции векторных аргументов. Для стационарных систем функции /(•), д{-) не зависят явно от времени.

Данное описание применимо к МІМО-системам. Для SISO- систем (т = / = 1) используется запись в виде одного дифференциального уравнения п-го порядка

Это уравнение во многих случаях разрешимо относительно старшей производной и может быть записано в виде

Из этого уравнения естественным образом может быть получена нормальная форма Коши (10.1). Действительно, вве-

д    д dy д

дем переменные Xi[t) = y[t), X2[t) = • • • i ^n[t) =

гда, учитывая, что введенные переменные являются последовательными производными и принимая во внимание уравне-

ние (10.2), получим систему уравпепий

Обратимся теперь к некоторым ’’типовым” статическим звеньям, уравнения которых часто встречаются при описании нелинейных зависимостей. Рассматриваем стационарные звенья у = F[x) с одним входом и одним выходом.

1.   Насыщение. Функция F{x) ограничена значениями F_, F^, т.е. для всех ж G выполнено F_ < F[x) < F+. Часто рассматриваются кусочно-линейные функции, которые в соответствующем масштабе могут быть выражены зависимостью у[х) = sat (ж), где

2.   Нечувствительность. Функция F{x) обращается в ноль для всех х, лежащих в некоторой окрестности нуля, F{x) = О при X G [х_, ж_|_], ж_ < О < ж_|_. Обычно рассматриваются кусочно-линейные симметричные зависимости, которые можно задать выражением

где Д > О - порог чувствительности {зона нечувствительности).

3.   Нечувствительность с насыщением. Сочетание характеристик указанных в пп. 1, 2 типов. При кусочнолинейной аппроксимации эта характеристика может быть задана в виде

Группа релейных [”разрывных”) характеристик:

4.   ’’Идеальное” двухпозиционное реле, сигнум-функция. у{х) = c-sign(a;), где сигнум-функция {ф>ункция знака) sign(a;) описывается выражением

где параметр с > О - величина ’’полки реле”. ^

5.   Двухпозиционное реле с нечувствительностью. Сочетание характеристик пп. 2, 4:

6.   Ступенчатая характеристика. Такой вид нелинейности свойственен аналого-цифровым преобразователям, выполняющим операции округления или усечения, вызванные ограниченностью разрядной сетки управляющей ЦВМ, а также свойственное некоторым видам датчиков систем управления.

Группа неоднозначных характеристик:

7.   Гистерезис (положительный или отрицательный),

8.   Люфт, консервативный люфт,

а также комбинации этих характеристик релейными зависимостями и нечувствительностью. Сюда относятся характеристики двухпозиционного и трехпозиционного реле.

Замечание 1. Строго говоря, нелинейности с неоднозначными характеристиками относятся не к статическим, а к динамическим звеньям со специфичными уравнениями и пространством состояний. Выход этих звеньев зависит не только от текущего значения входа, но и от его предыстории и начального состояния. Поэтому для них правильнее использовать запись y{t) = -P’(w[to, t]j) [94].

Замечание 2. В некоторых случаях рассматриваются характеристики вида y{t) =    Звенья с такими характеристиками не описываются уравнениями состояния (10.1), но фактически являются динамическими. Выход y{t) таких звеньев определяется поведением входного процесса на некотором (бесконечно малом) интервале времени [44]. Исходя из этого, нелинейности указанного вида называют динамическими нелинейностями.

Рассмотрим замкнутую динамическую систему, состоящую из динамического объекта и регулятора, заданных уравнениями

в которых через Xj,[t) G 7^"'’, Xc{t) G 7^"° обозначены векторы состояния объекта управления и регулятора, через y{t) ETZ^ - выход объекта, который считается выходом замкнутой системы, а через u{t) ETZ™ - управляющее воздействие, которое поступает с выхода регулятора. Задающее (командное) воздействие и возмущения отражены зависимостью вектор-функций /(•), д{-) от времени. Подстановкой выражений для u{t) и y{t) из уравнений выхода в соответствующие уравнения состояния получаем уравнения состояния замкнутой системы относительно общего вектора состояния x(t) = со1{жр(^), Xc{t)} G п = Пр + Пс, в виде

Замечаниеі . Далеко не во всех случаях и объект, и регулятор являются динамическими звеньями. Распространены ситуации, в которых регулятор - статическое (например, релейное, или линейное) звено. Тогда векторы состояния расширенной и исходной систем совпадают, а для статической подсистемы записываются только уравнения выхода.

Замечание 2. Если оба уравнения выхода содержат ’’прямую связь” между входом и выходом соответствующей подсистемы, т.е. если и объект, и регулятор не являются строго реализуемыми звеньями, то при указанной подстановке возникает ’’замкнутый контур”, появление которого приводит к необходимости разрешения системы алгебраических

уравнений

При моделировании таких систем можно использовать процедуры решения алгебро-дифференциальных уравнений [72].

Такое представление уравнений замкнутой нелинейной системы соответствует делению по функциональному признаку (на объект управления и регулятор). Это естественно при составлении уравнений системы, однако для дальнейших исследований более удобной бывает запись уравнений замкнутой системы в форме так называемой системы Лурье, в которой выделяются линейная и нелинейная части, причем вся динамика системы сосредоточена в линейной части, а нелинейность является статической (с учетом приведенного выше замечания относительно неоднозначных нелинейных характеристик). Рассмотрим эту форму записи более подробно.

Пусть линейная часть системы задается уравнениями состояния

а нелинейная часть описывается своей статической характеристикой

Здесь x[t) G - вектор состояния линейной части системы (10.8), одновремено служаш;ий вектором состояния системы в целом; a(t) £TZ‘ - вектор выхода линейной части системы; ^{t) G TZ™ - вектор выхода нелинейной части системы (10.9). Вектор-функция r{t) G TZ" и зависимость ір{-) от t в уравнениях (10.8), (10.9) позволяют учесть внешние воздействия на систему (рис. 10.1).

При кажуш;ейся ограниченности такой формы записи уравнений замкнутой системы она является достаточно обш;ей. Действительно, если положить в (10.8), (10.9) A{t) = 0„хп,

B[t) = C{t) = I„, D[t) = 0„xn, т.е. если принять, что линейная часть - совокупность независимых интеграторов, все выходы

которых образуют вектор (т{і), а на входы каждого из них поступают соответствующие компоненты вектора ^{t), получим x{t) =^{t), (т{і) = x{t). Положив   = f{x,t), получаем, что

к системе Лурье приводятся общие уравнения нелинейной и нестационарной системы x{t) = f{x,t).

Если в системе имеется один нелинейный блок со скалярным выходом ^{t) G (либо если преобразованием нелинейных звеньев ее можно привести к такому виду), ^ то линейную часть (ЛЧ) системы в стационарном случае можно описать передаточной функцией между входом ЛЧ ^ и выходом а : Wi[s) = (7(sl — А)~^В -Ь D. Получаем распространенный вид системы, замкнутой обратной связью. Особенность состоит в том, что обратная связь нелинейна.

Замечание. Поскольку в теории управления принято обычно рассматривать системы, замкнутые отрицательной обратной связью, можно изменить знак передаточной функции линейной части Wi{s), либо считать, что выход нелинейного блока определяется выражением ^{t) =